Материал: 02_Биномиальное распределение 2

Биномиальное распределение

Повторение опытов. Ф-ла Бернулли

Один и тот же опыт, в кот. Соб А может появиться с вероятностью р или не появиться с вероятностью q, повторяется N раз. Опыты независимы, т.е. исход каждого их них не влияет на исходы остальных.

Это повторение опытов по схеме Бернулли.

Например: монета бросается 10 раз. N=10. В каждом из бросании соб А – появление герба может появиться с р=1/2 и не появиться с q=1/2.

2) в группе 15 чел. Каждый из них может опоздать на урок с вер-ю р=0.01 и не опоздать с q=0.99. опыт проводится 15 раз N=15.

Рассматривается с.в. Х – число появление соб А при N опытах. Возможные значения {0,1,2,…N}.Это дискретная с.в. Вер-ть каждого из возможных значений подсчитывается по ф-ле Бернулли:

( 1)

P_N(K) = P_N (x=k)

Ф-ла (1) задает ряд распределения.

Вывод ф-лы Бернулли: Подсчитаем вер-ть того, что событие появится ровно К раз. Это значит, что в К опытах событие появилось, а в (N - K) не появилось. Вер-ть любого из таких вариантов = (p^k q ^n-k).Число таких вариантов определяется выбором из N номеров опытов тех К номеров, в которых событие появлялось, т.е. С^k_N .Перемножив эти кол-ва вариантов, получаем ф-лу Бернулли.

Например: Найти вер-ть того, что при пяти бросаниях кубика цифра «6» появится: а) ровно 3 раза;

Б) не менее 2-х раз.

Опыт – бросание кубика.

Число повторений N=5.

Соб.А – появление «6» в одном бросании.

р=Р(А)=1/6

q=Р(Ǎ)=5/6

к – интересующее нас число повторений.

А) Р₅(3) = С₅³ (1/6)³(5/6)² = = 10

Б) Р₅(К 2) = Р₅(2)+ Р₅(3)+ Р₅(4)+ Р₅(5) = 1 - Р₅(К<2)=1 – [Р₅(0)+ Р₅(1)]=

= 1 - =

= 1 -

Анализ распределения.

1. Проверяем основное свойство ряда:

2. m_x - ?, D_x - ?

M[x]=

M[x]=

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения равна:

(2)

Доказательство.

Рассматривается с.в. х – число появления событий в серии из N опытов. Представим ее в виде суммы с.в.

X=x₁+x₂+…+x_n (3)

С.в. x_i – число появлений событий при одном I-том опыте. Ряд распределения для нее:

xi	0	1
pi	q	p

Пользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:

3. σ_х - ?

σ_ч= (4)

4. m₀ - ?

В данном распределении m₀ – это найвероятнейшее число появлений событий А. Найдем ее из системы неравенств:

(5)

q p

N_p

На интервале p+q=1 может быть одно целое число или два целых числа, если они попадают на края интервала. В этом случае их вероятности будут равны.

Например. Найти найвероятнейшее число выпадений «6» при восьми бросках кубика.

Опыт – бросание кубика N=8

Событие А – выпадение «6» в одном опыте ,

m₀=1 - найвероятнешее число выпадений «6» при восьми бросках кубика.

Найти вероятность того, что при 50 бросках монеты герб появится в половине случаев.

Опыт – бросание монет. N=50

Событие А – выпадение герба в одном бросании. ,

Замечание. В биноминальном распределении при большом числе опытов N пользоваться формулой Бернулли сложно (теряется точность расчетов). Поэтому используются т.н. предельные случаи биноминального распределения:

1. распределение Пуассона;

2. нормальное распределение.

Какова вероятность того, что при 5 бросаниях кубика цифра «6» появится не менее 3 раз.

Это задача на повторение опытов.

Опыт : бросание кубика ; Число повторений опыта : n = 5;

Событие A - выпадение цифры «6» (в одном бросании).

p = P(A) = 1/6; q = 1 - p = 5/6 ;

Вероятность того, что событие появится k раз, подсчитывается по формуле Бернулли :

Пользуемся этой формулой :

Какова вероятность того, что при 50 бросаниях монеты герб появится не более 15 раз.

Это задача на повторение опытов.

Опыт : бросание монеты ; Число повторений опыта : n = 50;

Событие A - появление герба (в одном бросании).

p = P(A) = 1/2; q = 1 - p = 1/2 ;

Вероятность того, что событие появится k раз, подсчитывается по формуле Бернулли :

Однако, при большом числе опытов ( > 25-30) вместо формулы Бернулли надо брать ее предельные случаи.

Посчитываем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X - числа выпадений герба при 50 бросаниях монеты :

Дисперсия больше 9, и это значит что надо пользоваться формулами нормального распределения: