Документ: Все лекции, страницы 1-5 | Студенческое хранилище

Раздел I

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Введение

Данный раздел состоит из 4-х глав и содержит изложение материала, связанного с новыми типами интегралов: кратных, криволинейных и поверхностных. Обоснование необходимости введения этих новых понятий приводится в начале каждой главы путем постановки и решения задач геометрического, механического и технического содержания.

В первых трех главах изучаются свойства новых типов интегралов и методы их вычисления, а также приложения в различных дисциплинах.

Четвертая глава посвящена основным элементам теории скалярных и векторных полей. Свойства, характеристики и особенности этих полей изучаются с помощью кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, введенных в начале этого раздела.

Глава 1. Кратные интегралы

1.1. Двойной интеграл

Множество разнообразных задач физического и геометрического содержания, возникающих при исследовании законов природы и функционирования технических систем, приводят к понятию двойного интеграла. Рассмотрим некоторые из таких задач.

1.1.1. Вычисление объема цилиндрического тела

Введем понятие цилиндрического тела. Пусть задана функция = ( , ),

непрерывная в области 2 и ( , ) ≥ 0 ( , ) .
В системе координат рассмотрим тело T, ограниченное сверху
поверхностью = ( , ), снизу – областью на плоскости	и с боков -

цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси (рис. 1.1). Такое тело будем называть цилиндрическим телом.

Найдем объем цилиндрического тела T.

Z = ( , )

T

Рис. 1.1. Изображение цилиндрического тела

2

Для решения этой задачи мы сначала

Y

разобьем произвольным образом область

сетью кривых на частичные области ,

= 1, … , (рис. 1.2):

2

= … .

1

2

…

Далее рассмотрим цилиндрические

1

«столбики» с этими частичными основаниями ,

которые в совокупности составляют данное

цилиндрическое тело T.

При этом объем тела T будет равен сумме

объемов этих цилиндрических «столбиков»:

X

= + + … + =

∑

,

1

2

=1

Разбиение области

где - объем - того цилиндрического «столбика». Рис. 1.2.

В каждой частичной области

выберем произвольно точку ( , )

,

=

1, 2, … , . Если «размеры» области

малы́, то можно приближенно принять

цилиндрический «столбик» за цилиндр с постоянной высотой

= (

)

= ( ,

).

Пусть ∆

= ( ) - площадь фигуры . Тогда ≈

∙∆

= ( )∙∆

и

≈ ∑

( , )∙∆ .

=1

«Малость размеров» области определяется величиной ее «диаметра»

, где

= { ( , ): , } – максимально возможное расстояние между точками

этой области, а точнее:

= { ( , ): , } – точная верхняя граница

расстояний между двумя произвольными точками области ,

= 1, 2, … , .

Обозначим буквой λ ранг разбиения области , т.е. λ = {1, 2, … , }.

Тогда чем меньше значение λ, тем точнее приближенная формула для объема .

В пределе при λ → 0 получим точную формулу:

=

∑

( , )

∙ ∆

.

λ→ 0

=1

Замечание 1.1.

Аналогично решаются и следующие задачи.

а) Вычисление массы неоднородной пластины (области) с известной поверхностной плотностью распределения массы ( , ):

=	∑	(	,	)∙∆
λ→ 0	=1

б) Вычисление электрического заряда пластины (области) с известной поверхностной плотностью распределения заряда ( , ):

=	∑	(	,	)∙∆
λ→ 0	=1

1.1.2. Понятие двойного интеграла

Пусть имеется функция = ( , ), заданная в области 2, где - замкнутая область, ограниченная гладкой (или кусочно-гладкой) кривой.

Выполним следующие действия.

1.Разбиение области на частичные области : = 1 2 … .

2.Выбор промежуточных точек: ( , ) , = 1, 2, … , .

3.Вычисление суммы: = ∑=1 ( , )∙∆ , где ∆ = ( ) – площадь частичной области , = 1, 2, … , .

Сумма называется интегральной суммой Римана функции ( , ) по области .

3

Заметим, что интегральная сумма зависит не только от значения , но и от

способа разбиения области на частичные области и от выбора промежуточных точек

( ,			) , = 1, 2, … , .

	Введем обозначения:
	– диаметр частичной области , = 1, 2, … , ; λ = { , … ,							}	- ранг разбиения.
							1
Определение 1.1.
	Число называется пределом интегральных сумм при λ → 0, если для > 0

> 0		такое, что для любого разбиения области с рангом разбиения							λ < и при
любом выборе промежуточных точек {					}		выполняется неравенство:
					=1
				\|		− \| < .

	Запись: = - означает, что при λ → 0 этот предел существует, он не
			λ → 0

зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .

Замечание 1.2.

Условие: λ → 0 - не равносильно условию: → ∞; условие → ∞ - необходимое, но

не достаточное условие для того, чтобы λ → 0.

Для введенного здесь нового типа пределов справедливы все свойства и теоремы о

пределах, рассмотренные в предыдущих разделах математического анализа.

Определение 1.2.

Конечный предел интегральных сумм

при λ → 0 называется двойным

интегралом от функции ( , ) по области .

Обозначение:

( , ) или:

( ) . Таким образом, по определению

имеем: ( , ) = ,

( ) = или:

λ → 0

( , ) = ∑

(

, )

∙ ∆

,

( ) =

∑

(

) ∙ ∆

.

λ → 0

=1

λ → 0

=1

Функция ( , ), для которой существует двойной интеграл, называется интегрируемой по области . Область называется областью интегрирования.

Пример 1.1.


0 = ∑=1		0∙∆ = ∑=1	0 = 0 = 0	0 = 0	.
	λ → 0	λ → 0	λ → 0

Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл: ( , ) , где ( , ) ≥ 0 ( , ) , равен объему цилиндрического тела T, ограниченного сверху поверхностью = ( , ), а снизу – областью на плоскости :

(T) = ( , ) .

Физический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл: ( , ) , где ( , ) − поверхностная плотность массы, распределенная по области равен массе всей области :

= ( , ) .

Двойной интеграл: ( , ) , где ( , ) − поверхностная плотность электрического заряда, распределенная по области равен заряду всей области :

= ( , ) .

4

1.1.3. Условия интегрируемости функции

Выясним условия (необходимые и достаточные) интегрируемости функций. Теорема 1.1 (необходимое условие интегрируемости).

Если функция ( ) интегрируема по области , то она ограничена в области .

Доказательство.

Пусть функция интегрируема, но не ограничена в области . Тогда при любом разбиении области на части - функция ( ) сохранила бы свойство неограниченности, хотя бы в одной из частичных областей .

В этом случае за счет выбора промежуточной точки можно сделать значение ( ), а значит, и значение интегральной суммы , сколь угодно большим.

Но тогда конечного предела существовать не может, т.е. функция ( ) будет неинтегрируемой. Это противоречит условию теоремы. Значит, функция должна быть

ограничена в области . Теорема доказана.

Обратное утверждение не имеет места: есть ограниченные, но не интегрируемые

функции.

Следствие 1.1.

Если функция ( ) не ограничена в области , то она и не интегрируема по этой

области.

Например, пусть = { ( , ): 2

+ 2 ≤ 1} - единичный круг на плоскости

1

, . Здесь = { ( , ): 2 + 2 < 1} - открытый

и функция ( ) = {

2 + 2−1

1,

единичный круг, а = { ( , ): 2 + 2 = 1} - единичная окружность.

Функция ( ) не ограничена в области ,

т.к. ( ) → ∞ при , → .

Следовательно, функция ( ) не интегрируема по области .

Для получения признаков (необходимых и достаточных условий) интегрируемости

функций введем новые понятия.

Для произвольного разбиения { }

области введем следующие обозначения:

=1

= { ( ), },

=

−

, = 1, … , .

Очевидно, что

≤ ( ) ≤

,

= 1, … , .

Величина

называется

колебанием функции ( ) в частичной области , = 1, … , .

Определение 1.3.

Пусть ∆

= ( ) - площадь частичной области , = 1, … , . Тогда величины:

= ∑

∙∆ и = ∑

∙∆

=1

называются интегральными суммами Дарбу́- соответственно нижней интегральной

суммой и верхней интегральной суммой.

Очевидно, что для любого разбиения {

}

области и любого выбора точек

=1

{

}

интегральная сумма Римана

находится между значениями интегральных сумм

=1

Дарбу:

≤ ≤

Теорема 1.2 (основной признак интегрируемости).

Для того чтобы ограниченная функция ( ) была интегрируема по области ,

необходимо и достаточно, чтобы ( − ) = 0.

λ→0

Доказательство этой теоремы есть в работе [1].

5

Разность − можно выразить через колебания функции ( ):

− = ∑=1 ∙∆ − ∑=1 ∙∆ = ∑=1( − )∙∆ = ∑=1 ∙∆

В терминах колебаний функции ( ) основной признак интегрируемости можно сформулировать следующим образом.

Следствие 1.2 (основной признак интегрируемости).

Для того чтобы ограниченная функция ( ) была интегрируема по области , необходимо и достаточно, чтобы для > 0 > 0 такое, что для любого разбиения { }=1 области с рангом разбиения λ < и при любом выборе промежуточных точек { }=1 выполнялось неравенство: ∑=1 ∙∆ < .

1.1.4. Классы интегрируемых функций

Из основного признака интегрируемости можно установить классы функций, интегрируемых по заданной области.

Теорема 1.3.

Если функция ( ) непрерывна в области , то она и интегрируема по области .

Доказательство.

По условию теоремы функция ( ) непрерывна в ограниченной и замкнутой области . Следовательно, по теореме Вейерштрасса ([5], . . ) она ограничена в этой области, а по теореме Кантора ([5], . . ) она равномерно непрерывна в этой области.

Значит, для > 0 > 0 такое, что для любого разбиения области с рангом

разбиения λ < выполняется условие:	<		одновременно для всех = 1, … , .
		( )

Тогда ∑	∙∆	< ∑


=1		=1	( )

∙∆ = ( ) ∑=1 ∆ = ( ) ∙( ) = .

Итак, для > 0 > 0 такое, что для любого разбиения области с рангом

разбиения λ < выполняется неравенство: ∑=1 ∙∆ < .

По Следствию 1.2 это означает, что функция ( ) интегрируема по области . Теорема доказана.

Оказывается, интегрируемость сохраняется и для класса ограниченных функций, непрерывных «почти всюду» в области интегрирования.

Теорема 1.4.

Если функция ( ) ограничена в области и непрерывна в области всюду за исключением конечного числа точек или конечного числа кривых, лежащих в этой области, то она интегрируема по области .

Доказательство этой теоремы есть в работе [1].

Замечание 1.3.

Интегрируемость функции и величина интеграла сохраняются, если произвольным образом изменить значения функции в конечном числе точек или на конечном числе кривых, лежащих в этой области. Это связано с тем, что площади всех кривых равны нулю, поэтому соответствующие слагаемые в интегральных суммах не влияют на общую сумму.

Пример 1.2.

Вычислить двойной интеграл по квадрату :

= { ( , ) 2: 0 ≤ ≤ 1; 0 ≤ ≤ 1} (рис. 1.3).

Решение.

Здесь ( , ) = - непрерывная функция, значит, она интегрируема по области .

Материал: Все лекции

Смотрите также: