Материал: Все лекции

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Не умаляя общности, можно считать, что ( , ) ≥ 0 ( , ) . В этом случае двойной интеграл равен объему цилиндрического тела T, ограниченного сверху

поверхностью = ( , ), а снизу - областью , лежащей в плоскости		(рис. 1.9):
(T) =	( , ) .
Z	= ( , )

1( )	2	( )

Рис. 1.9. Иллюстрация к доказательству теоремы 1.7

Проведем сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной к оси := , [ ; ]. В сечении получим криволинейную трапецию (ее контур на рисунке 1.9 выделен красным цветом).

Площадь ( ) этой трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла:

( ) = ∫ 2( ) ( , ) .

1( )

Объем цилиндрического тела T можно вычислить теперь как объем тела по заданным площадям поперечных сечений ([4], 14.3):

(T) = ∫ ( ) .

	В результате получаем равенство:
		( , ) = ∫	( ) = ∫	(∫ 2( ) ( , ) ) .
				1( )
	Теорема доказана.
	При вычислении повторного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл
∫ 2( )	( , ) , в котором - переменная интегрирования, а значение - фиксировано.
1( )
	Результатом вычисления внутреннего интеграла будет некоторая функция,

зависящая от переменной . После этого вычисляется внешний интеграл от этой функции по переменной .

	Пусть функция ( , ) интегрируема по области , где - правильная область в
направлении оси , т.е. = { ( , ): 1( ) ≤ ≤ 2( ),		[ ; ]}.
	Справедливо следующее утверждение, аналогичное Теореме 1.7.
Теорема 1.8.
	Если при любом фиксированном [ ; ] существует определенный интеграл
∫ 2( )	( , ) , то существует и повторный интеграл ∫ (∫ 2( ) ( , ) ) , который
1( )		1( )

равен двойному интегралу:

интегрирования, а значение - фиксировано. Внешний интеграл берется по переменной .

Замечание 1.4.

Если - правильная область и в направлении оси и в направлении оси , то справедливы обе формулы:

																								2( )																												2( )
									( , ) =									∫				(∫ 1( )									( , ) ) = ∫																					(∫ 1( )					( , ) ) .
Пример 1.4.
		Вычислить двумя способами двойной
		Вычислить двумя способами двойной
интеграл								( − ) , где – область,
																																																					1
ограниченная кривыми = и = 2																															(рис. 1.10).																						1
ограниченная кривыми = и = 2																															(рис. 1.10).
Решение.																																																								=
Решение.									,				= − ;							,							-																																		= 2
		Здесь							,		)		= − ;							,				)			-																																		= 2
								(			)							(						)
непрерывная функция; следовательно,
двойной интеграл существует.																																																												1
																																																												1

		Область является правильной и
в направлении оси и оси (рис. 1.10).																																														Рис. 1.10.							Область интегрирования
		Значит, можно применять обе формулы																																																				в Примере 1.4
для вычисления двойного интеграла.
1) = { ( , ): 0 ≤ ≤ 1, 2 ≤ ≤ }																																						( − ) = ∫1(∫ 2( − ) ) =
																																																					0
= ∫1(∫ 2 − ∫ 2 ) =																		∫1				( ∙ ∫ 2 −													2			\| 2) = ∫1														( ∙ ( − 2) −										2	+		4	) =
= ∫1(∫ 2 − ∫ 2 ) =																		∫1				( ∙ ∫ 2 −												2				\| 2) = ∫1														( ∙ ( − 2) −											+	2		) =
0																		0																2													0													2				2
= ∫1 (		2		− 3 +						4	) = (				3		−		4			+			5				) \|10			=	1	−			1			+			1		=			1		.
= ∫1 (				− 3 +							) = (						−					+		10					) \|10			=		−						+					=					.
0	2								2					6				4						10								6		4							10						60
																																																							1			√

2) = { ( , ): 0 ≤ ≤ 1, ≤ ≤ √ }																																							( − ) =														∫			(∫					( − )			) =
2) = { ( , ): 0 ≤ ≤ 1, ≤ ≤ √ }																																							( − ) =														∫			(∫					( − )			) =
																																																					0
1																						1				2 √										√																1					2
			√								√


= ∫0	(∫					− ∫								) = ∫0									(				2			\|		− ∫									) = ∫0 (												2	−			2		− (√ − )) =
= ∫1						2	− √					) = (				2		+			3							2,5			) \|10 =					1		+				1		−		2	=		1		.
	(		+			2										2					3		−					2,5								1						1				2			1

						2																																								5
0	2					2								4						6							2,5							4							6					5	60
Ответ:							( − ) =									1		.
Ответ:							( − ) =											.
														60
					1.3.3. Прямоугольная область интегрирования

Простейшим видом области интегрирования является прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат (рис. 1.11):

= { ( , ): ≤ ≤ , ≤ ≤ }.

Прямоугольник - правильная область в обоих направлениях: осей и .

Следовательно, имеем формулы:

Рис. 1.11. Прямоугольная

область интегрирования

	( , ) = ∫	(∫	( , ) ) = ∫	(∫	( , ) )	.

Пример 1.5.

Вычислить двумя способами ( − ) , где область интегрирования –

прямоугольник: = { ( , ): 2 ≤ ≤ 5; 0 ≤ ≤ 1}.

Решение.

1)				( − ) = ∫1							(∫5( − ) ) =							∫1 (∫5						− ∫5						) =
										0	2								0			2							2
= ∫1 ( ∙					∫5	−		2		\|25) = ∫1 (3 −						21	) = (			3 2		−			21		) \|10 =				3	−		21	= −9.
= ∫1 ( ∙					∫5	−				\|25) = ∫1 (3 −							) = (					−		2			) \|10 =					−		2	= −9.
	0				2		2				0				2						2			2							2			2
2)				( − ) = ∫5 (∫1( − ) ) = ∫5																	(∫1 −							∫1 ) =
										2	0							2			0							0
		5		2	1				1			5		1				1					2				5	3			21
= ∫			(		\|0 − ∙ ∫					) = ∫			(		− ) = (				−							) \|2 =			−				= −9.
= ∫			(	2	\|0 − ∙ ∫					) = ∫			(	2	− ) = (			2	−							) \|2 =		2	−		2		= −9.
	2			2			0				2			2				2				2						2			2
Ответ:							( − ) = −9.

Частный случай.

Предположим, что подынтегральная функция ( , ) равна произведению двух функций, каждая из которых является функцией только одной переменной:

( , ) = 1( )∙ 2( ),

а область интегрирования − по-прежнему прямоугольник:

= { ( , ): ≤ ≤ , ≤ ≤ }.

Тогда имеем:

1( )∙ 2( ) = ∫ (∫ 1( ) ∙ 2( ) ) = ∫ ( 1( ) ∙ ∫ 2( ) ) = = ∫ 1( ) ∙∫ 2( ) , т.е. в этом случае двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

1( ) ∙ 2( ) = ∫ 1( ) ∙ ∫ 2( ) .

Пример 1.6.

Вычислить , где = { ( , ): 0 ≤ ≤ 1; 0 ≤ ≤ 1} (см. Пример 1.2).

Решение.

	1		1		2 1		2 1			1 1		1
= ∫		∙∫		=		\|0∙		\|0	=		∙	=	.
					2		2
0		0								2 2		4

Ответ: = 14.

Замечание 1.5.

В дальнейшем повторные интегралы будем записывать в следующем виде:

∫ (∫ 2(( )) ( , ) ) = ∫ ∫ 2(( )) ( , ) и
	1		1
	2( )		2( )
∫	(∫ 1( )	( , ) ) = ∫	∫ 1( )	( , ) .

Тогда формулы для вычисления двойного интеграла примут вид:

	( , ) = ∫ ∫ 2(( )) ( , )	и	( , ) = ∫ ∫ 2(( )) ( , ) .
	1		1

1.4. Замена переменных в двойном интеграле

Для упрощения вычисления двойного интеграла иногда целесообразно сделать замену переменных, т.е. от старых переменных ( , ) по определенным формулам перейти к новым переменным ( , ). При этом, естественно, может измениться и область интегрирования.

Выясним, как преобразуется двойной интеграл при такой замене переменных.

Пусть имеется двойной интеграл ( , ) , где область ограничена кусочно-гладким контуром.

Пусть функция ( , ) непрерывна в области или же ограничена во всей областии непрерывна там всюду за исключением конечного числа точек и конечного числа кусочно-гладких кривых, лежащих в этой области.

			′
			′

Рис. 1.12. Взаимно-однозначное соответствие между областями

Рассмотрим преобразование, связывающее переменные ( , ) с переменными ( , ) некоторой системой уравнений:

= ( , )

( ){ = ( , ).

Предполагается, что это преобразование устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками области , лежащей в плоскости и точками области′, лежащей в плоскости (рис. 1.12). Это означает, что система уравнений ( ) однозначно разрешима относительно новых переменных ( , ):

= ( , ) { = ( , ).

1.4.1. Якобиан преобразования

Пусть функции = ( , ) и = ( , ) - непрерывно-дифференцируемы в области ′. Составим определитель 2-го порядка из частных производных этих функций:

	′	′

			\|.
	( , ) = \|	\| = \|	\|.
	′	′


Определитель ( , ) называется определителем Якоби или якобианом.
Справедлива следующая лемма (приводим без доказательства).
Лемма 1.1.
Если ( , ) ≠ 0	в любой внутренней точке области ′, то преобразование ( )

устанавливает взаимно-однозначное соответствие между областями и ′.

Используя утверждение Леммы 1.1, можно сформулировать следующую теорему. Теорема 1.9 (о замене переменных в двойном интеграле).

= ( , )

Если при замене переменных { = ( , ) якобиан ( , ) не обращается в нуль ни в какой внутренней точке области ′, то справедлива следующая формула:

( , ) = ′ ( ( , ), ( , )) ∙ |( , )| .

Доказательство этой теоремы есть в работе [1].

Из приведенной формулы следует, что при замене переменных нужно не только подставить в подынтегральную функцию новые переменные, но еще и умножить значение функции на модуль якобиана.

Оформление решения при замене переменных в двойном интеграле выглядит так:

	= ( , )
( , ) = [	= ( , )	] =	′ ( ( , ), ( , ))∙\|( , )\|.

= |( , )|

Следствие 1.6 (площадь фигуры в криволинейных координатах).

( ) = ′|( , )| = | ′ ( , ) | .

Доказательство.

( ) =

1 = ′ 1∙|( , )| =

′|( , )|.

Учитывая, что якобиан ( , ) имеет один и тот же знак в области ′, получаем:

′

|( , )| = ′

( , ) или

′ |( , )| = −

′ ( , ) , т.е.

′

|( , )| = |

′ ( , ) |.

Следствие доказано.

Геометрический смысл якобиана.

Пусть при замене переменных { = ( , )

точка ( ,

)

- переходит в точку

= ( , )

0(0, 0). Тогда произвольная окрестность точки 0 перейдет в некоторую

окрестность ′ точки (рис. 1.13).

′

Рис. 1.13. К геометрическому смыслу якобиана

Согласно Следствию 1.6 имеем: ( ) =

′ |( , )|, а по теореме о среднем

(Теорема 1.6):

|( , )| = |(′)|∙(′), где ′

- некоторая точка окрестности ′.

′

Следовательно:

( ) = |(′)|∙(′) |(′)|

( )

( ′)

Далее будем неограниченно уменьшать размеры области , «стягивая» ее к точке

0, но так, чтобы область все время содержала точку 0:

{ } → 0.

При этом

соответствующая окрестность ′ будет «стягиваться» к точке :

{′} → .

Ввиду непрерывности якобиана ( , ) его значение будет стремиться к (0).

Переходя к пределу, получим:

|( )|

( )

{ } → 0

( ′)

( , ) , в котором - переменная

Здесь внутренний интеграл равен ∫ 1( )

+++P-5-2014_мед ПК и ПО подростков
12. Dignity
1284
14.Сердечно-сосудистая система
156
1949
2489
273
3796
5275