Материал: Все лекции

Линия уровня

плоского скалярного

поля при фиксированном значении определяется

(, ) =

уравнением:

(, ) =

( , ) = .

Придавая константе в этом уравнении

(, ) =

различные значения, получим целое

семейство линий уровня (рис. 4.2):

{ ,

}.

Заметим, что линии уровня,

соответствующие различным значениям ,

Рис. 4.2. Линии уровня

не пересекаются:

скалярного поля

≠

∩

= .

Пример 4.2.

Построить линии уровня следующих скалярных полей:

а) = + ;

б) = 2 + 2;

в) = 2 − 2.

в)

а)

б)

Рис. 4.3. Линии уровня скалярных полей из Примера 4.2

вектором нормали {1; 1}. (рис. 4.3-а);

б) { ( , ) 2: 2 + 2

= , ≥ 0} - это семейство концентрических

окружностей с центром в начале координат (при > 0) и точка (0; 0) (при

= 0)

(рис. 4.3-б);

в) { ( , ) 2: 2 − 2

= , } – это семейство гипербол (при

≠ 0) и

пара прямых (при = 0) (рис. 4.3-в).

Ответ: Линии уровня изображены на рисунке 4.3.

4.1.2. Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения скалярного поля в различных

направлениях вводится понятие производной по направлению.

Рассмотрим скалярное поле = ( ), .

Пусть 0 - фиксированная точка и - ненулевой вектор.

Проведем луч из точки 0 в направлении вектора

0

(рис. 4.4). Пусть - произвольная точка на этом луче.

Рассмотрим приращение ∆ (0) скалярного поля

в точке 0 в направлении вектора :

Рис. 4.4. Луч в

∆ (0) = ( ) − (0), где

направлении вектора

0

.

Устремим точку к точке 0 вдоль этого луча.

Определение 4.4.

Если существует предел отношения

∆ (0)

при → 0 и 0 , то он

| 0 |

называется производной

( ) скалярного поля в точке

по направлению вектора .

0

0

Итак, по определению имеем:

∆

(0)

( )− ( )

( ) =

=

0

.

0

→ 0

→ 0

| 0 |

| 0 |

0

0

Пусть функция = ( , , ) имеет непрерывные частные производные ′

, ′

, ′

в окрестности точки 0. Тогда в точке 0

для любого ненулевого вектора существует

производная по направлению , которая выражается формулой:

( )

= ′

( )∙ + ′

( )∙ + ′

( )∙ γ,

0

0

0

0

где , , γ - направляющие углы вектора .

Доказательство.

Пусть 0(0, 0, 0), (0 + ∆ , 0

+ ∆ , 0

+ ∆ ); тогда 0 {∆ , ∆ , ∆ } .

∆ ( ) = ′

( )∙∆ + ′

( )∙∆ + ′

( )∙∆ +

∙∆ +

∙∆ + ∙∆,

0

0

0

0

1

2

3

где 1, 2, 3 → 0 при ∆, ∆, ∆ → 0.

Введем обозначение: λ = | 0 |; учитывая, что

0 {∆ ; ∆ ; ∆ } , получим:

∆ = λ∙ ,

∆ = λ∙ ,

∆ = λ∙ γ.

Тогда имеем:

∆ ( 0)

= ′

( ) + ′

( ) + ′( ) γ + + + γ.

λ

0

0

0

1

2

3

Если → 0, то λ → 0 и ∆, ∆, ∆ → 0, следовательно, и

1, 2, 3 → 0.

Переходя к пределу при → 0, получим нужную формулу. Теорема доказана.

В случае плоского скалярного поля = ( , ) имеем формулу:

( ) = ′ ( )∙ + ′

( )∙ ,

0

0

0

где – угол между вектором

и осью абсцисс.

Пример 4.3.

Найти производную скалярного поля = в точке 0(1; 2; 3) в направлении

вектора {1; −2; 2}.

Решение.

Здесь имеем: ′

= , ′ = , ′ = ; ′ ( ) = 6, ′ ( ) = 3,

′( ) = 2.

0

0

0

Найдем направляющие косинусы вектора :

| | = √1 + 4 + 4 = 3

=

1

, = −

2

, γ =

2

. Следовательно:

(0) = 6∙

1

+ 3∙(−

2

) + 2∙

2

=

4

= 1

1

.

3

3

3

3

3

3

3

3

Ответ:

(0) = 1

1

.

3

Следствие 4.1.

Пусть

- орты осей координат , , .

Тогда производные по

, ,

направлениям этих ортов совпадают с частными производными по переменным , , :

=

,

=

,

=

.

Определение 4.5.

Градиентом скалярного поля = ( , , ) в точке 0

называется вектор

′

′

′

( )}.

{

( ),

( ),

0

0

0

Для градиента приняты обозначения:

( 0) или

( 0):

′

( )∙ +

′

′

= ( ) = ( ) =

( )∙ +

( )∙ .

0

0

0

0

0

Пример 4.4.

Найти

= | |,

{ , , } - радиус-вектор точки.

, где

Используем, как и выше, обозначение градиента: =

∙ +

∙ +

∙ .

=

∙ + ∙ + ∙ .

Тогда = ∙

- произведение вектора на скалярную (числовую) величину .

Этот оператор преобразует скалярную величину в векторную величину .

Отметим следующие правила действий с оператором

.

(1)

,

где = .

(2)

= 0

= ,

= ,

= .

(3)

где = .

(4)

( ∙ )

= ∙ ,

( + ) = + .

∙ − ∙

(5)

( ∙ )

= ∙ + ∙ .

(6)

(

) =

.

2

(7)

′

(8)

′

′

( ) =

( )∙ .