Материал: Все лекции

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

								21
частичной поверхности ,	= 1 ÷ .

Если ввести обозначение:					( ), = 1 ÷ ,		то интегральную сумму
Если ввести обозначение:			∆ = ∆ ∙ 0		( ), = 1 ÷ ,		то интегральную сумму
можно записать в виде:	= ∑				Пусть λ =			- наибольший из
можно записать в виде:	= ∑			( )∙∆ .	Пусть λ =			- наибольший из
		=1				1≤ ≤
диаметров частичных поверхностей - ранг разбиения.
Определение 3.14.
Число называется пределом интегральных сумм						при λ → 0, если для > 0

> 0 такое, что для любого разбиения поверхности с рангом разбиения λ < и при

любом выборе промежуточных точек {		}		выполняется неравенство:
		=1
	\|		− \| < .

Запись: = - означает, что при λ → 0					этот предел существует, он не
λ → 0

зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .

Определение 3.15.

Конечный предел интегральных сумм

при λ → 0 называется поверхностным

интегралом 2 рода от вектор-функции ( ) по поверхности .

Обозначение:

Таким образом, имеем равенство:

( )∙ .

∑

( ) ∙ =

(

) ∙ ∆

λ → 0

Существует простая связь между поверхностными интегралами 1 и 2 рода:

( )

∙ =

( ∙ 0)

В левой части этого равенства стоит поверхностный интеграл 2 рода

( )∙

от вектор-функции ( ), а в правой части - поверхностный интеграл 1 рода

( ∙ 0)

от функции ( ) = ( )∙ 0( ), значения которой совпадают с проекцией вектора

на

единичный вектор нормали 0 в точке .

Запишем поверхностный интеграл 2 рода в координатной форме.

Пусть

( ) = (, , )∙ + (, , )∙ + (, , )∙ ,

где , , γ - направляющие углы вектора

0( ) = ∙ + ∙ + γ∙ ,

нормали 0

в точке . Тогда получаем:

(

)

(

, ,

)

∙ +

(

, ,

)

∙ +

(

, ,

)

∙ =

∙ γ

Вектор-функция ( ), для которой существует поверхностный интеграл 2 рода, называется интегрируемой по поверхности .

Пример 3.10.

Пусть ( ) ≡ 0 на поверхности . Тогда имеем:

0 = 0

0∙ =

∑=1

0∙∆

0∙ = 0.

λ → 0

Для поверхностных интегралов 2 рода по замкнутой поверхности принято

следующее обозначение:

(

)

∙ .

Физический смысл поверхностного интеграла 2 рода:

(

)

(

)

через поверхность .

П =

∙

- поток вектора

Теорема 3.9 (достаточное условие интегрируемости).

Пусть - гладкая ориентированная поверхность, а вектор-функция ( ) - непрерывна на (т.е. непрерывны все ее координатные функции). Тогда вектор-функция( ) интегрируема по поверхности .

Свойства поверхностного интеграла 2 рода.

Пусть вектор-функции ( ) и ( ) - интегрируемы по поверхности . Тогда справедливы следующие свойства.

1. Антисимметричность.

При изменении ориентации на поверхности поверхностный интеграл 2 рода меняет знак:


	+ ( )∙ = −		− ( )∙ ,

где + и −- это одна и та же поверхность , но с противоположными ориентациями.

2. Линейность.

а) постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла 2 рода:

					= ;
	( ∙ ( ))∙ = ∙		( )∙ ,

б) поверхностный интеграл 2 рода от суммы вектор-функций равен сумме поверхностных интегралов 2 рода от этих вектор-функций:

(		)	(	)		(	)	(	)
(			+		)∙ =		∙ +		∙ .

Свойство линейности можно записать в следующем виде:

		= 1∙			1, 2 = .
(1 ∙ ( ) + 2	∙ ( ))∙	= 1∙	( )∙ + 2∙	( )∙	1, 2 = .

3. Аддитивность.

Если поверхность разбита на две части, то поверхностный интеграл 2 рода по поверхности равен сумме поверхностных интегралов 2 рода по каждой из этих частей:

= 1 2, 1 ∩ 2 =
= 1 2, 1 ∩ 2 =	( )∙ =		( )∙ +		( )∙ .

		1		2
Доказательство всех этих свойств аналогично доказательству в случае
криволинейных интегралов 2 рода.
3.4. Вычисление поверхностного интеграла 2 рода
Рассмотрим методы вычисления поверхностного интеграла 2 рода
						( )∙ .
			)},	0( ) = { ; ; γ}
Пусть ( ) = { ( , , ); ( , , ); ( , ,			)},	0( ) = { ; ; γ}

( , , γ − направляющие углы вектора нормали 0 в точке ).

Тогда поверхностный интеграл 2 рода выражается через поверхностные интегралы 1 рода по следующим формулам:

= { ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ γ} =

=( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ γ .

3.4.1. Метод проектирования на все три координатные плоскости

Пусть поверхность взаимно-однозначно проектируется на все три координатные плоскости , , и соответственно: , , - ее проекции на эти плоскости.

При этом поверхность задается следующими уравнениями:

= ( , ), где ( , ) ; = ( , ), где ( , ) ; = ( , ), где ( , ) .

В этих случаях вектор нормали к поверхности и его направляющие косинусы

(с точностью до знака) вычисляются по формулам:

′

| ∙ |

= ( , ) {−

; − ; 1} γ = ±

= ±

;

| |∙| |

| |

√1 + (′ )2 + (′ )2

′

| ∙ |

= ( , )

{− ; 1; − } = ±

= ±

√1 + (′ )2

;

| |∙| |

| |

+ (′)2

′

| ∙ |

= ( , ) {1; − ; − } = ±

= ±

| |∙| |

| |

√1 + (′ )2 + (′ )2

Применим формулы для поверхностных интегралов 1 рода (см. п. 3.2.3):

( , , )∙ = ±

= ±

( ( , ), , ) ;

( ( , ), , )| |

| |

( , , )∙ = ±

= ±

( , ( , ), ) ;

( , ( , ), )| |

| |

( , , )∙ γ = ±

= ±

( , , ( , )) .

( , , ( , ))||

| |

Таким образом, имеем формулу для вычисления поверхностного интеграла 2 рода через двойные интегралы:

= ± ( ( , ), , ) ± ( , ( , ), ) ± ( , , ( , )) .

Знак перед каждым двойным интегралом должен совпадать со знаком соответствующего косинуса. Например, если - острый угол, то > 0 и знак « + »; если - тупой угол, то < 0 и знак « − ».

Поверхностный интеграл 2 рода может быть записан в следующей форме:

		(, , ) + (, , ) + (, , ) или:
( )∙ =
			(, , ) + (, , ) + (, , ) .
	( )∙ =

В этом случае будут аналогичные формулы:

	( , , ) = ±		( ( , ), , ) ;

	( , , ) = ±		( , ( , ), ) ;

	( , , ) = ±		( , , ( , )) .
			( , , ( , )) .		1	0
					1


Пример 3.11.
Вычислить поверхностный интеграл 2 рода					O	1
от вектор-функции					O	1

		( ) = ∙ + ∙ + ∙
через часть сферы 2 + 2 + 2 = 1, расположенной
через часть сферы 2 + 2 + 2 = 1, расположенной					1
в первом октанте в направлении внешней нормали (рис. 3.25).					1
в первом октанте в направлении внешней нормали (рис. 3.25).
Решение.				Рис. 3.25. К Примеру 3.11
				=
	= ( )∙ = + +			=

= ± ( , )∙ ± ( , )∙ ± ∙( , ) .

Из уравнения сферы: 2 + 2 + 2 = 1 - выразим соответствующие функции:


( , ) = √1 − 2 − 2;			( , ) = √1 − 2 − 2		;	( , ) = √1 − 2 − 2.

Внешняя нормаль образует острые углы со всеми осями координат (рис. 3.25), следовательно, перед интегралами везде ставим знаки « + »:

= √1 − 2 − 2∙ + √1 − 2 − 2∙ + ∙√1 − 2 − 2 .

Каждая из проекций , , представляет собой часть круга радиуса 1, лежащую в первой четверти (рис. 3.26). Вычислим первое из этих слагаемых, переходя к

полярным координатам:
																						= ∙
																						= ∙ ] =
					√1 − 2 − 2∙ = [																	= ∙ ] =																			1

																					=
																					=
																								(∫1 2√1 − 2
=						′ 2√1 − 2								∙ =								∫	2	(∫1 2√1 − 2														) =
																						0					0																	1

						∙∫1 2√1 − 2														= ∫1 2√1 − 2
= ∫				2		∙∫1 2√1 − 2														= ∫1 2√1 − 2											=
	0									0														0															Рис. 3.26. Проекция
								=																															Рис. 3.26. Проекция
								=																				1												на плоскость
= [					= ] = ∫0												2	2				∙ 2 =						1		∙∫0			2	22 =						на плоскость
= [					= ] = ∫0												2	2				∙ 2 =						4		∙∫0			2	22 =
		√1 − 2 =
		1							1− 4						1				1
																										.
=			∙∫									=				∙( −					4 ) \|2 =
							2																				Аналогично получим:
	4						2																				Аналогично получим:
	4					0			2						8				4					0	16
										( , )∙ =														∙( , ) =													=		+		+		=	3	.
										( , )∙ =														∙( , ) =													=		+		+		=		.
																																			16			16	16		16			16
																																			16			16	16		16			16
Ответ:									=		3		.
Ответ:									=	16			.
										16
Пример 3.12.
																																									1				0

								Вычислить =											− +


																																										O				3
через верхнюю сторону части плоскости																											+					+				= 1,
																									2				3						1				2
																									2				3						1
вырезаемой координатными плоскостями (рис. 3.27).


Решение.


								Учитывая, что вектор 0															образует острые углы																Рис. 3.27. К Примеру 3.12

сосями координат, получаем:

= − + ( , ) =

= − + (1 − 2 − 3) .

Вычислим отдельно каждый из двойных интегралов. Проекции поверхности на координатные плоскости показаны на рисунке 3.28.

1. = ∫03 ∫01− 3 = ∫03 (1 − 3) = ∫03 ( − 13 2) =

= (	1	2 −			1	3) \|03 =			9		− 3 =					3	.

					9				2
2					9				2					2
			= ∫2							∫1−					= ∫2						1		\|1−		) =
2.																				(		2		2
														2
														2
						0					0							0		2			0
																				2
= ∫2			1	(1 −				)2 =			1	∙	1	(1 −					)3∙(−2)\|02				= −			1	(0 − 1) =		1	.

							2											2								3
0 2							2				2 3							2								3		3


																											3

				1														1
				1														1
						3
																						2									2
																						2

Рис. 3.28. Проекции на координатные плоскости

∫2 ∫ 3(1−

) (1 −

(1 −

−

) =

−

) =

= ∫2

) |3(1−

) −

2|3(1−

)) = ∫2

)2 −

(1 −

)2) =

((1 −

(3 (1 −

3 1

∫

(1 −

) =

∙

(1 −

) ∙(−2)|

= 1. В результате получим:

−

+ 1 = 2

2 3

Ответ:

= 2

3.4.2. Метод проектирования на одну координатную плоскость

Пусть поверхность проектируется

взаимно-однозначно на плоскость

в область

(рис. 3.29).

= ( , )

В этом случае поверхность можно

задать уравнением: = ( , ), а орт 0

нормали к поверхности вычисляется

по формуле:

{− ′

;− ′

; 1}

0 = ± ∙

= ±

√1 +

( ′ )2

| |

( ′ )2

Тогда поверхностный интеграл 2 рода

преобразуется к виду:

(

)

(

)

(

)

∙ =

∙ 0

( )∙ 0( )∙| | =

Рис. 3.29. Проекции поверхности на

= ±

( )∙ ∙

∙| | =

плоскость

| |

= ±

′

( )∙ = ±

{ ( , , ); ( , , ); ( , , )}∙{− ; − ; 1} =

= ±

{− ( , , ( , )) ∙ ′

− ( , , ( , )) ∙ ′ + ( , , ( , ))} .

Знак перед двойным интегралом берется « + », если угол между осью и

вектором 0 - острый и берется

« − », если угол между осью и вектором 0 - тупой.

Аналогичные формулы для вычисления поверхностных интегралов 2 рода можно

получить в случае взаимно-однозначного проектирования поверхности на другие

координатные плоскости:

Таким образом, имеем следующие формулы для вычисления

поверхностных интегралов 2 рода:

= ±

{− ( , , ( , )) ∙ ′

− ( , , ( , )) ∙ ′

+ ( , , ( , ))}

= ±

{− ( , ( , ), ) ∙ ′

+ ( , ( , ), ) − ( , ( , ), ) ∙ ′}

= ±

{ ( ( , ), , ) − ( ( , ), , ) ∙ ′ − ( ( , ), , ) ∙ ′ }

Пример 3.13.

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода от вектор-функции

( ) =

∙ + ∙

по внешней стороне параболоида = 2

+ 2, ограниченного плоскостью = 2

Решение.

Смотрите также:

+++P-5-2014_мед ПК и ПО подростков
12. Dignity
1284
14.Сердечно-сосудистая система
156
1949
2489
273
3796
5275