Документ: Все лекции, страницы 81-85 | Студенческое хранилище

16

замкнутой, т.е. когда она ограничивает некоторое тело, то имеется внутренняя сторона, обращенная к телу, и внешняя сторона, обращенная к окружающему пространству.

Все эти поверхности можно назвать двусторонними поверхностями. Однако существуют и так называемые односторонние поверхности, т.е. поверхности, имеющие только одну сторону.

Классическим примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса. Его модель можно получить следующим способом.

Надо взять прямоугольный кусок 1 1 какой-нибудь материи (бумаги, ленты и т.д.) и, перекрутив этот кусок один раз, склеить его концы (точку с 1, точку с 1) - так, как показано на рисунке (рис. 3.16).

	1
			1
			1
	1		1
			1
Рис. 3.16. Схема получения листа Мебиуса
В результате получим перекрученное кольцо, которое и называется лист Мебиуса
(рис. 3.17). Эта поверхность обладает следующим
парадоксальным свойством: если ее начать красить
в какой-либо цвет, то можно, не переходя на другую
«сторону поверхности», тем не менее, покрасить
«обе стороны» поверхности этим цветом.
Это говорит о том, что у данной поверхности
Это говорит о том, что у данной поверхности		Рис. 3.17. Изображение листа
		Рис. 3.17. Изображение листа
всего одна сторона.		Мебиуса
Дадим определение односторонней поверхности.
Дадим определение односторонней поверхности.
Выберем некую точку 0	на поверхности и проведем через точку		0

замкнутый контур, лежащий на этой поверхности (не пересекающий ее границу). В каждой точке этого контура проведем нормаль к данной поверхности.

Пусть точка вместе со своей нормалью обходит этот контур, начиная движение из точки 0; при этом подразумевается, что вектор нормали меняет свое направление непрерывно по мере движения по контуру.

После обхода контура и возвращения в точку 0 направление вектора нормали может оказаться таким же, как и в начале пути, или же стать противоположным по отношению к исходному направлению.

Определение 3.11.

Гладкая поверхность называется односторонней, если на ней существуют точка0 и контур, проходящий через эту точку – такие, что при обходе контура направление вектора нормали меняется на противоположное направление.

Определение 3.12.

Гладкая поверхность называется двусторонней, если для любых ее точек 0 и любого содержащего эту точку контура направление вектора нормали сохраняется при обходе контура.

В дальнейшем мы исключим из рассмотрения односторонние поверхности. Все поверхности, о которых пойдет речь далее, считаются двусторонними.

17

На этих поверхностях фиксируется одна из сторон поверхности путем указания направления вектора нормали. Тем самым вводится определенная ориентация на данной поверхности. Сама поверхность при этом называется ориентированной.

3.3.2. Понятие потока вектора через поверхность
Рассмотрим поверхность , через которую
перемещаются (проходят, перетекают) частицы

некоторого вещества произвольной природы			( )
некоторого вещества произвольной природы
(например, газа или жидкости).

Пусть это движение задается вектором ( ),
который определяет величину и направление
скорости частиц в каждой точке поверхности
(рис. 3.18).
Определение 3.13.		Рис. 3.18. К понятию потока
		Рис. 3.18. К понятию потока

Потоком П вектор-функции ( ) через		вектора через поверхность
		вектора через поверхность
поверхность называется общее количество (объем)
	через эту поверхность за единицу времени.
вещества, протекающего со скоростью ( )	через эту поверхность за единицу времени.
Задача (о вычислении потока).
	через заданную поверхность .
Найти поток П вектор-функции ( )	через заданную поверхность .
Решение.
Если поверхность - плоская, а

вектор-функция ( ) - постоянная: ( ) = ,
то за единицу времени частицы, проходящие			0
через эту поверхность, заполнят			0
через эту поверхность, заполнят
цилиндрическое тело с основанием и

образующими, совпадающими с вектором

	(рис. 3.19).	Рис. 3.19. К задаче о вычислении потока
	Значит, поток П в этом случае равен	Рис. 3.19. К задаче о вычислении потока
	Значит, поток П в этом случае равен

объему цилиндрического тела, т.е. произведению площади основания ( ) на высоту . Высота цилиндрического тела равна проекции вектора на единичный вектор

0 нормали к плоскости (рис. 3.19), т.е. скалярному произведению этих векторов. Таким образом, для рассматриваемого случая имеем следующее выражение для потока:

П = ( )∙ = ( )∙Пр 0 ( ) = ( )∙ ( )∙ 0.

Чтобы вычислить поток в общем случае, выполним следующие действия. 1. Разбиваем поверхность на частичные поверхности: = 1 2 … и

обозначаем площадь -й частичной поверхности через ∆ = ( ), = 1 ÷ .

2. В каждой части выбираем промежуточные точки и вычисляем значения

( ) и 0( ), = 1 ÷ .

Предполагаем, что диаметры частичных поверхностей настолько малы, что эти поверхности почти не отличаются от плоских фигур, а значения ( ) и 0( ) при значениях незначительно отличаются от значений ( ) и 0( ).

Тогда поток через поверхность приближенно равен: П ≈ ∆ ∙ ( )∙ 0( ),= 1 ÷ , а весь поток вычисляется приближенно по формуле:

18

П ≈ ∑=1 ( )∙ 0( )∙∆ .

Эта приближенная формула тем точнее, чем меньше размеры частичных

поверхностей , = 1 ÷ , т.е. чем меньше ранг разбиения λ = .

1≤ ≤

В пределе получаем точное значение:

П

= ∑=1 ( )∙ 0( )∙∆ .

λ → 0

Замечание 3.6.

Поток удовлетворяет свойству аддитивности: если = 1 2,

1 ∩ 2 = , то

П = П

+ П , где П

- поток через поверхность ,

= 1, 2.

1

2

3.3.3. Примеры на вычисление потока радиус-вектора

Рассмотрим примеры на вычисление потока радиус-вектора

= ( ) = ( ) = ∙ + ∙ + ∙ (рис. 3.20) через различные поверхности.

Пример 3.6.

( )

Найти поток П радиус-вектора через

часть плоскости

:

+

= 1 ( , , > 0),

расположенную в первом октанте в направлении нормали,

образующей острые углы с осями координат.

O

Решение.

Применим формулу:

П =

∑

(

)∙ ( )∙∆ ,

где

Рис. 3.20. Изображение

λ → 0

=1

0

( )

1

радиус-вектора точки

=

∙(

+

)

- единичный вектор

0

λ

нормали к плоскости (рис. 3.21), λ = √

1

+

1

+

1

.

2

( )

Вычислим скалярные произведения векторов:

( )∙ ( ) =

1

∙(

1

+

1

+

1

) =

1

∙1 =

1

, = 1 ÷ .

0( )

λ

0

λ

В результате получим:

П = ∑

1

∙∆

=

1

∙ ∑

∆

=

1

∙( ),

O

λ → 0

=1 λ

λ

λ → 0

=1

λ

где ( ) – площадь треугольника с вершинами в точках

( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; ) (рис. 3.21).

Площадь треугольника можно вычислить по

Рис. 3.21. К Примеру 3.6

площади его проекции на плоскость (см. 3.1.2):

1

= ∙ γ,

где γ - угол между векторами 0 {λ∙ ;

λ∙

; λ∙} и

{0; 0; 1};

1

γ =

| 0∙ |

=

( ) = = ∙λ∙ =

λ∙ .

λ∙

2

| 0|∙| |

Следовательно, поток равен: П = 1λ∙ = 1λ∙12 λ∙ = 12 .

Ответ: П = 12 .

Пример 3.7.

Найти поток П радиус-вектора через поверхность тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью + + = 1 ( , , > 0), в направлении внешней нормали.

19

Решение.

Поверхность тетраэдра состоит из 4-х граней: = 1

2 3 4,

+

= 1

где ,

,

: {

}.

1

2

3

4

≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

По свойству аддитивности потока имеем: П = П1 + П2 + П3 + П4, где П - поток через поверхность , = 1 ÷ 4. П4 = 12 (см. Пример 3.6).

Найдем потоки через поверхности (грани) 1, , 2, , 3. На поверхности 1 имеем:

0		( ){; ; 0}, 0( ){0; 0; −1} ( )∙ 0( ) = 0				1.
	( ) = −
На поверхности 2		имеем:
0	( ) = −	( ){ ; 0; }, 0( ){0; −1; 0}			( )∙ 0( ) = 0	2.
На поверхности 3		имеем:
0	( ) = −	( ){0; ; }, 0( ){−1; 0; 0}			( )∙ 0( ) = 0	3.
Следовательно, получаем: П			= П	= П = 0 и П = 0 + 0 + 0 + П =			1	.

		1	2	3	4	2

Ответ: П =		1	.
Ответ: П =			.
	2
Пример 3.8.
Найти поток П радиус-вектора через сферу радиуса с центром в начале
координат в направлении внешней нормали.

Решение.							( )	0	( )
							( )
Применим формулу для потока:
Применим формулу для потока:
П =	∑			(	)∙ (	)∙∆ ,
λ → 0		=1			0

где 0( ) - единичный вектор нормали к поверхности сферы (рис. 3.22).

						(градиент)
		Так как вектор нормали				(градиент)
к поверхности ( , , ) = 0 имеет вид (см. 3.1.4):
	′	( ),	′	′	( )}, то из уравнения сферы
{		( ),		( ),	( )}, то из уравнения сферы

2		+ 2 + 2 − 2 = 0 – получаем вектор нормали:
	′	= 2,	′	= 2,	′	= 2	{2 ; 2 ; 2 }.

Рис. 3.22. К Примеру 3.8

Единичный вектор нормали с точностью до знака имеет вид: ( ) = ±

=

0

| |

= ±

1

{2 ; 2 ; 2 } = ±

1

{ ; ; } = ±

1

{ ; ; } = ±

1

( ),

√4 2+ 4 2+ 4 2

√ 2+ 2+ 2

т.е. на поверхности сферы вектор 0( ) и радиус-вектор ( ) - коллинеарны. Учитывая, что нормаль должна быть внешняя, векторы 0( ) и ( ) должны

быть одинаково направлены: 0( ) ↑↑ ( ) 0( ) = 1 ( ).

Подставляя это значение 0( ) в формулу для потока, получим:

П =

∑

( )∙

1

(

)∙∆

=

1

∙

∑

| |2(

)∙∆

=

1

∙

∑

2∙∆ =

λ → 0

=1

λ → 0

=1

λ → 0

=1

= ∙

∑

∆ = ∙( ) = ∙42 = 43.

λ → 0

=1

Ответ:

П = 43.

Пример 3.9.

Найти поток П радиус-вектора через прямой круговой цилиндр в направлении внешней нормали. Ось цилиндра совпадает с осью , высота равна , основание лежит

20

в плоскости и имеет радиус .

Решение.

Поверхность цилиндра состоит из 3-х частей – двух оснований и боковой

поверхности: = 1

2

3, где 1 - нижнее основание, 2 - верхнее основание,

3 – боковая поверхность (рис. 3.23).

0( )

Поток через всю поверхность цилиндра равен

сумме потоков через эти поверхности:

П = П1 + П2 + П3.

0( )

На поверхности

{( , , ) 3: = 0} имеем:

1

0( )

( ){; ; 0}, 0( ){0; 0; −1}

= −

( )∙ 0( ) = 0 1.

П =

∑

(

)∙ (

)∙∆

=

∑

0∙∆

=

0

( )

1

λ → 0

=1

0

λ → 0

=1

= ∑ =1 0 = 0 = 0.

λ → 0

Рис. 3.23. К Примеру 3.9

На поверхности

{( , , ) 3: = } имеем:

2

0( )

( ){; ; },

0( ){0; 0; 1} ( )∙ 0( ) =

2.

=

П =

∑

(

)∙ (

)∙∆

=

∑

∙∆

= ∙

∑

∆ = ∙( )

=

2

λ

→ 0

=1

0

λ → 0

=1

λ → 0

=1

2

= ∙ 2 = 2 .

На поверхности

{( , , ) 3: 2 + 2

= 2} имеем:

3

- вектор нормали (градиент)

{2 ; 2 ; 0}

( ) = ±

= ±

1

{2 ; 2 ; 0} = ±

1

{; ; 0} = ±

1

{; ; 0}

2

0

√4

+ 4

+

| |

√

( )∙ ( ) = ± { ; ; }∙

1

{; ; 0} = ±

1

∙(2 + 2) = ±

1

∙ 2 = ±.

0

Учитывая, что нормаль должна быть внешняя, угол между векторами 0( ) и

( ) должен быть острым (рис. 3.23). Следовательно, имеем:

( )∙ 0( ) > 0 ( )∙ 0( ) = .

П =

∑

(

)∙ (

)∙∆

=

∑

∙∆

= ∙

∑

∆

= ∙( ) = =

3

λ

→ 0

=1

0

λ → 0

=1

λ → 0

=1

3

∙2 = 22 .

Окончательно получим:

П = П + П + П = 0 + 2 + 22 = 32 .

1

2

3

Ответ: П = 32 .

3.3.4. Понятие поверхностного интеграла 2 рода

Рассмотрим гладкую ориентированную поверхность в пространстве (рис. 3.24),

на которой задана вектор-функция

( ).

0( )

Выполним следующие действия.

1.

Разбиение поверхности :

=

… .

1

2

2.

Выбор промежуточных точек:

,

= 1 ÷ .

3.

Вычисление скалярных произведений

векторов:

O

( )∙ 0( ), = 1 ÷

и интегральной суммы:

= ∑

)∙∆ ,

=1

( )∙ (

0

где ∆

= (

)

– площадь

Рис. 3.24. Ориентированная поверхность

Материал: Все лекции

Смотрите также: