Материал: Все лекции

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

′	(	′	(	′	′	(	′	′
	(	)∙	(	) +	( )∙	(	) +	( )∙	( ) = 0 ∙ = 0.
	0		0		0	0		0	0

Последнее равенство означает, что векторы и - ортогональны: . Заметим, что вектор зависит от кривой , а вектор - один и тот же для всех

кривых, лежащих на поверхности и проходящих через точку 0.

Таким образом, получаем, что все кривые, лежащие на поверхности и проходящие через точку 0, имеют касательные, перпендикулярные одному и тому же вектору - градиенту функции ( , , ) в точке 0.

Это означает, что все касательные лежат в одной плоскости, а именно: в плоскости, проходящей через точку 0 и перпендикулярной вектору . Эту плоскость называют касательной плоскостью.

Определение 3.6.

Касательной плоскостью к поверхности в точке 0 называется плоскость, проходящая через все касательные прямые к кривым, лежащим на этой поверхности и проходящим через точку 0.

		Уравнение касательной плоскости имеет вид:
′ ( , , ) ∙ ( −						) + ′		( , , ) ∙ ( − ) + ′ ( , ,																) ∙ ( − ) = 0, или:
	0 0 0				0		0 0 0									0			0 0 0							0
			′	(	) ∙ ( − ) + ′ (						) ∙ ( −					) + ′			(		) ∙ ( −					) = 0		.
				0		0				0				0						0					0
Определение 3.7.
		Прямая, проходящая через точку 0											и перпендикулярная касательной плоскости,
называется нормалью к поверхности в точке 0.
												− 0				=		− 0				=		− 0
		Уравнения нормали имеют вид:																									, или:
		Уравнения нормали имеют вид:									′	(		, , )			′	(		, , )			′	(		, , )	, или:
												0		0 0				0		0 0					0	0 0

							− 0		=	− 0			=		− 0		.
							′ ( )		=	′	(	)	=		′ ( )		.
							′ ( )			′	(	)			′ ( )
								0			0					0
Замечание 3.3.
		Уравнения нормали и касательной плоскости теряют смысл, если
′	(	) = ′ ( )			= ′ ( ) = 0.				В этом случае точка ( , ,																) называется особой
	0			0		0														0	0	0 0

точкой поверхности . В особых точках поверхности касательная плоскость и нормаль к поверхности не существуют.

	′	(	),	′	(	),	′	( )}	отлична
Если же хотя бы одна из координат вектора {
		0			0			0
от нуля, то точка 0(0, 0, 0) называется обыкновенной точкой поверхности .									В таких

точках поверхности касательная плоскость и нормаль существуют, и они единственны. Рассмотрим частный случай, когда поверхность задается уравнением:

= ( , ).

В этом случае имеем:

( , , ) = − ( , ),

′

= −

′

, 1}.

= −

= 1 {−

, −

Уравнение касательной плоскости:

−

′( , )

∙ ( − ) + ′( , )

∙ ( − );

0 0

уравнения нормали:

− 0

′( ,

)

′

(

, )

−1

0 0

Пример 3.2.

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности = 2 + 2

в точке 0(1; −2; 5).

Решение.

Здесь имеем: ′ = 2,

′

= 2,

′( , )

= 2,

′( , )

= −4;

на касательную плоскость

1≤ ≤

уравнение касательной плоскости: − 5 = 2∙( − 1) − 4∙( + 2) 2 − 4 − − 5 = 0;

уравнения нормали:

−

+ 2

− 5

−4

−1

Ответ: 2 − 4 − − 5 = 0;

−

+ 2

− 5

−4

−1

3.1.5. Понятие площади кривой поверхности и ее вычисление

Рассмотрим в пространстве 3 поверхность

, ограниченную контуром .

Разобьем поверхность
на частичные поверхности:
на частичные поверхности:
=	… .
1		2
В каждой части			выбираем

промежуточную точку							и проводим

касательную плоскость				к поверхности

в точке (рис. 3.9).
											O
Далее проектируем частичную											O
Далее проектируем частичную
поверхность		с вектором нормали
поверхность		с вектором нормали

на касательную плоскость					(рис. 3.10),

= 1, … , .											Рис. 3.9.
Предполагаем, что диаметр
частичной поверхности				настолько мал, что

это проектирование будет взаимно-однозначным.
̃		- проекция				на касательную
Пусть		- проекция				на касательную

плоскость , а		̃
плоскость , а	( ) - ее площадь, = 1, … , .

Составим сумму: ̃					=	∑				̃	и введем
Составим сумму: ̃					=	∑		=1	( )		и введем
								=1

обозначение:

λ = { } - ранг разбиения поверхности .

Определение 3.8.

Разбиение поверхности и выбор промежуточных точек

Рис. 3.10. Проектирование

Если существует ̃ , не зависящий

λ → 0

ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, то этот предел называется площадью поверхности :

( ) = ∑ (̃ ),

λ =1 → 0

а сама поверхность называется квадрируемой.

Таким образом, площадь кривой поверхности определяется как предел сумм площадей плоских фигур, полученных проектированием кривых поверхностей на касательные плоскости.

Вычисление площади кривой поверхности.

Пусть поверхность задана явным уравнением:

= ( , ),

где ( , ) - дифференцируемая функция 2-х переменных ( , ) 2.

Поверхность , ограниченная некоторым контуром, проектируется на плоскостьв область (рис. 3.11). Выведем формулу для вычисления площади поверхности .

Разобьем область на частичные области: = 1 2 … и рассмотрим цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси и с основаниями

, = 1, … , .

Эти цилиндрические поверхности разбивают поверхность на

частичные поверхности:

… .

Выберем в каждой части

= ( , )

промежуточную точку

и проведем

касательную плоскость

к поверхности

в точке .

Далее продолжим эти цилиндрические

поверхности до пересечения с построенными

касательными плоскостями.

Тогда на этих плоскостях вырежутся

плоские области ′

с площадями (′ ),

= 1, … , .

Как было показано выше (см. 3.1.2),

площади (′ ) и (

) связаны формулами:

(

) = (′ )∙ γ

Рис. 3.11. Проекция поверхности

где γ - острый угол между касательной

на плоскость

плоскостью

и плоскостью , который

совпадает с углом между вектором нормали (градиентом) и осью .

По определению площади поверхности имеем:

( ) = ∑

( ),

λ → 0

на касательную плоскость .

где ( ) - площадь проекции

Примем без доказательства следующее утверждение.

Лемма 3.1.

Для поверхности , заданной явным уравнением:

= ( , ), следующие пределы

совпадают:

∑

(

′

( ) =

λ → 0

Согласно этой лемме, имеем:

( ) = ∑

∑

(

′

) =

∑

( )

∑

( ) =

∙ ∆ .

λ → 0

→ 0

λ → 0

Последнее выражение совпадает с пределом интегральных сумм для двойного

интеграла от функции

Таким образом, получаем формулу:

γ( , )

( )

γ( , )

где γ( , )- острый угол между вектором нормали и осью в точке ( , , ).

Для практических вычислений полученная формула не очень удобна, поэтому ее

надо преобразовать. Для этого вычислим γ( , ).

′

Так как γ = γ( , ) — это острый угол между вектором нормали {−

, − , 1}

оси , то справедливы следующие равенства:

ортом {0, 0, 1}

| ∙ |

√

′

γ( , ) =

√1 + (′)2 + (′)2

γ( , )

= | | =

1 + ( )

+ ( )

| |∙| |

| |

( ) =

√

′

| | =

1 + ( )

+ ( )

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 3.3.

Пусть - гладкая поверхность, заданная явным уравнением: = ( , ), а область - ее проекция на координатную плоскость .

Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле:

( ) = √1 + (′)2 + (′)2 .

Замечание 3.4.

Аналогичные формулы получаются в случае задания поверхности уравнениями

= ( , ) и = ( , ):

( ) = √1 + (′)2 + (′)2 и ( ) = √1 + (′)2 + (′)2 .

Общую формулу для площади поверхности можно записать в виде:

( ) =		, или	( ) =		, или	( ) =		,
( ) =	\| \|	, или	( ) =	\| \|	, или	( ) =	\| \|	,

где , , - проекции поверхности на координатные плоскости, соответственно, и , а - вектор нормали к поверхности в произвольной точке:

= ( , ) {−′ ; −′ ; 1}; = ( , ) {−′; 1; −′}; = ( , ) {1; −′ ; −′ }.

Пример 3.3.

Найти площадь поверхности сферы радиуса .

Решение.

Сфера радиуса задается уравнением:

2 + 2 + 2 = 2

Вычислим сначала площадь поверхности верхней полусферы (рис. 3.12) с уравнением:

= √2 − 2− 2

= √2 − 2 − 2 .

Здесь имеем: ′ = −

′ = −

√ 2− 2

− 2

√ 2− 2− 2

1 + (′)2 + (′)2

= 1 +

2− 2− 2

= − √2 − 2− 2

√1 + (′)2 + (′)2 =

;

√ 2− 2− 2

Рис. 3.12. Иллюстрация

. Область — это круг

к Примеру 3.3

√

2− 2− 2

с центром в начале координат и радиуса .

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

= ∙

0 ≤ ≤

[ = ∙

∙ , где ′:

]

= ′

{0 ≤ < 2.

√

2− 2− 2

2− 2

|0 =

= ∫0

∫0

∙ = −

∫0

− 2) = − ∫0

(2 − 2) 2

√

2− 2

= ∫2

= 2∙2 = 22

= 42.

сферы

Ответ:

= 42.

сферы

3.2. Поверхностный интеграл 1 рода

Введенное выше понятие площади кривой поверхности позволяет нам перейти к рассмотрению нового типа интегралов – поверхностного интеграла 1 рода.

	3.2.1. Понятие поверхностного интеграла 1 рода
	Рассмотрим в пространстве
квадрируемую поверхность (рис. 3.13).
	Пусть на поверхности					задана
	Пусть на поверхности					задана
функция ( ),			.
	Выполним следующие действия.
1.	Разбиение поверхности на частичные
	поверхности:
		=				… .			O
				1	2
2.	Выбор промежуточных точек:
2.	Выбор промежуточных точек:
	,			= 1, 2, … , .

3.	Вычисление суммы:							Рис. 3.13. Поверхность в пространстве
	= ∑			( ) ∙ ∆ ,				Рис. 3.13. Поверхность в пространстве
	= ∑			( ) ∙ ∆ ,
		=1
	где ∆ = ( )			- площадь частичной поверхности , = 1, 2, … , .

	Сумма		называется интегральной суммой						Римана функции ( ) по

поверхности .		Пусть λ =					- наибольший из диаметров частичных поверхностей

1≤ ≤

- ранг разбиения.

Определение 3.9.

Число называется пределом интегральных сумм при λ → 0, если для > 0> 0 такое, что для любого разбиения поверхности с рангом разбиения λ < и при любом выборе промежуточных точек { }=1 выполняется неравенство:

	\|	− \| < .

Запись: = - означает, что при			λ → 0 этот предел существует, он не
λ → 0

зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .

Определение 3.10.

Конечный предел интегральных сумм при λ → 0 называется поверхностным интегралом 1 рода от функции ( ) по поверхности .

Обозначения: ( ) или

( , , ) .

Согласно определению имеем:

( ) =

∑

( ) ∙ ∆

или

λ → 0

( , , ) =

∑

( , , ) ∙ ∆

λ → 0

Функция ( ), для которой существует поверхностный интеграл 1 рода,

называется интегрируемой по поверхности .

Пример 3.4.

0 = ∑=1

0∙∆ = 0 = 0

0 = 0;

1 =

λ → 0

∑

1∙∆

= ( ) = ( ) - площадь поверхности .

λ → 0

Физический смысл поверхностного интеграла 1 рода.

Смотрите также:

+++P-5-2014_мед ПК и ПО подростков
12. Dignity
1284
14.Сердечно-сосудистая система
156
1949
2489
273
3796
5275