Документ: Все лекции, страницы 61-65 | Студенческое хранилище

		= ( , )
		= ( , )
{		( , ) .
		= ( , )
		= ( , )

Зафиксируем некоторую внутреннюю точку0(0, 0) . Для произвольной точки ( , )

и произвольной дуги ̆ , целиком лежащей в

0

области и соединяющей точки 0 и (рис. 2.32), составим криволинейный интеграл 2 рода:

∫̆ ( , ) + ( , ) .

0

Так как этот интеграл не зависит от пути, а зависит только от точки

(при фиксированной точке 0), то он является функцией точки ( , ), т.е. функцией двух переменных ( , ). Введем обозначение:

25

2

+ ∆

1

0
		+ ∆

Рис. 2.32. Иллюстрация к

доказательству Теоремы 2.9

( , ) = ∫

( , ) + ( , ) = ∫ ( , ) + ( , ) .

̆

0

Докажем, что введенная таким образом функция ( , ) является искомой

функцией, т.е. для нее выполняются равенства:

= ( , ),

= ( , ).

Для удобства обозначим переменные интегрирования и новыми буквами и :

( , ) = ∫

( , ) + ( , ) =

∫ ( , ) + ( , ) .

̆

0

По определению частных производных имеем:

=

∆

,

=

∆

,

∆ → 0

∆

∆ → 0

∆

где ∆ , ∆ - частные приращения:

∆ = (1) − ( ) = ( + ∆ , ) − ( , ),

∆ = (2) − ( ) = ( , + ∆ ) − ( , ); здесь 1( + ∆ , ), 2( , + ∆ )

(рис. 2.32).

Преобразуем частное приращение ∆ :

∆ = (1) − ( ) = ∫ 1 ( , ) + ( , ) − ∫ ( , ) + ( , ) =

	0				0
= ∫ ( , ) + ( , ) + ∫ 1		( , ) + ( , ) − ∫ ( , ) + ( , ) =
0					0
= ∫ 1	( , ) + ( , ) .

	Так как интеграл ∫ 1{ ( , ) + ( , )} не зависит от пути, то в качестве дуги
			= =
̆			= =		}, параллельный оси ; тогда имеем:
1 можно взять отрезок [1] = {			+ ∆		}, параллельный оси ; тогда имеем:
			+ ∆
= 0 и ∆ = ∫ 1 ( , ) =		∫+∆ ( , ) .

	Преобразуем частное приращение ∆ :
∆ = (2) − ( ) = ∫ 2 ( , ) + ( , ) − ∫ ( , ) + ( , ) =
	0				0
= ∫ ( , ) + ( , ) + ∫ 2		( , ) + ( , ) − ∫ ( , ) + ( , ) =
0					0
= ∫ 2	( , ) + ( , ) .

	Так как интеграл ∫ 2 ( , ) + ( , )			не зависит от пути, то в качестве дуги

26

̆

{

= =

}, параллельный оси ; тогда

2 можно взять отрезок [2] =

+ ∆

имеем: = 0 и ∆ = ∫ 2 ( , ) = ∫+∆ ( , ) .

Таким образом, частные приращения равны следующим значениям:

∆ = ∫+∆ ( , ) ,

∆ = ∫+∆

( , ).

По теореме о среднем для определенного интеграла имеем:

∫+∆ ( , ) = (

, )∙∆,

+ ∆;

ср.

∫+∆ ( , ) = ( ,

)∙∆,

+ ∆.

ср.

Из непрерывности функций ( , ) и ( , ) получаем:

=

∆

=

(

, ) = ( , ),

∆ → 0 ∆

∆ → 0

ср.

=

∆

=

( ,

) = ( , ).

∆ → 0

∆

∆ → 0

ср.

Доказано, что

= ( , ),

= ( , ). Следовательно, ( , ) - «потенциал», а

( ) - потенциальная вектор-функция в области .

Теорема доказана.

2.6.3. Условия независимости интеграла от пути

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 2.2.

Пусть выполнено равенство:

( , ) =

( , ) для ( , ) .

Тогда криволинейный интеграл 2 рода:

( , ) + ( , ) -

не зависит от пути интегрирования в области .

Доказательство.

Ввиду односвязности области любой

простой контур в ней ограничивает некоторую

Рис. 2.33. Иллюстрация

область , которая также является односвязной областью

к доказательству Леммы 2.2

(рис. 2.33).

По формуле Грина (для односвязной области) имеем:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )} = 0 = 0,

т.е. криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру в области равен нулю. Согласно Лемме 2.1 это означает, что криволинейный интеграл не зависит от пути

интегрирования в области . Лемма доказана.

Теперь можно перейти к основному утверждению данного параграфа. Теорема 2.10 (условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути).

Пусть - односвязная область, а функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области

и в этой области существуют и непрерывны частные производные

( , ) и ( , ).

Тогда следующие 4 утверждения равносильны:

( ): криволинейный интеграл 2 рода ∫ ( , ) + ( , ) не зависит от пути интегрирования в области .

27

( ): криволинейный интеграл 2 рода ( , ) + ( , ) по любому замкнутому контуру в области равен нулю.

(γ): ( ) = ( ( , )) - потенциальная вектор-функция в области .

( , )

( ):	( , ) =	( , )	для ( , ) .

Доказательство.

Выше были доказаны утверждения: ( ) ( ) - Лемма 2.1, ( ) (γ) - Теорема 2.9, (γ) ( ) - Замечание 2.6, ( ) ( ) - Лемма 2.2.

Имеем цепочку утверждений (импликаций): ( ) (γ) ( ) ( ), значит ( ) (γ) ( ). Следовательно, все эти 4 утверждения – действительно равносильны.

2.6.4. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница

Если криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути интегрирования, то его значение на кривой равно разности потенциалов в конечной и начальной точках кривой:

∫̆ ( , ) + ( , ) = ( ) − ( ),

где ( , ) - первообразная функция подынтегрального выражения (или потенциал вектор-функции).

					̆						= ( )
	Действительно, пусть				= - гладкая кривая:						{ = ( ), 1	≤ ≤ 2 и такая, что
(	) = ,	(	) = ,	(	) = ,	(	) = . Тогда имеем:
1		1		2		2
∫̆ ( , ) + ( , ) =					∫̆ ( , )		= ∫	2					=
∫̆ ( , ) + ( , ) =					∫̆ ( , )		= ∫			{ ( ( ), ( ))} = ( ( ), ( ))\| 2			=
							1					1
= ( ( ), ( )) − ( ( ), ( )) = ( ,									) − ( , ) = ( )			− ( ).
	2	2		1	1

Полученную формулу можно назвать обобщенной формулой Ньютона-Лейбница (по аналогии с известной формулой для определенного интеграла):

∫̆ ( , ) + ( , ) = ∫̆ ( , ) = ∫ ( , ) = ( , )| = ( ) − ( ) .

Алгоритм вычисления интеграла по обобщенной формуле Ньютона-Лейбница.

Чтобы вычислить криволинейный интеграл 2 рода: ∫̆ ( , ) + ( , ) - по обобщенной формуле Ньютона-Лейбница, необходимо выполнить следующие действия.

1. Убедиться в том, что криволинейный интеграл не зависит от пути, т.е. подынтегральная функция является полным дифференциалом. Для этого следует проверить равенство:

( , ) =	( , )	для ( , ) .

2. Найти первообразную функцию подынтегрального выражения (потенциал вектор-функции), т.е. составить и решить систему уравнений относительно ( , ):

{

= ( , )

.

= ( , )

3. Вычислить разность значений потенциала в конечной и начальной точках, т.е.

применить формулу: ∫̆ ( , ) + ( , ) = ( ) − ( ).

Пример 2.15.

Вычислить = ∫̆ (3 2 + 6 2) + (6 2 + 4 3) , где (1; 2), (−1, 1).

28

Решение.

1.Здесь ( , ) = 3 2 + 6 2, ( , ) = 6 2 + 4 3,

= (3 2 + 6 2)′ = 12 ,

= (6 2 + 4 3)′ = 12 ,

( , ) =

( , )

для ( , ) 2.

Следовательно, данный криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути.

= 3 2

+ 6 2

{

2.

Составляем систему уравнений:

. Выберем одно из этих

= 6 2

+ 4 3

уравнений для его интегрирования, например, первое уравнение:
(	,	)	= ∫(3	2	+ 6	2)	=		3	+ 3	2	2	+	(	)
	,		= ∫(3		+ 6		=			+ 3			+		.
Подставим найденное значение ( , ) во второе уравнение:
( 3 + 3 2 2 + ( )) = 6 2 + ′								( ) = 6 2 + 4 3 ′ ( ) = 4 3								( ) = 4

( , ) = 3 + 3 2 2 + 4 - первообразная функция подынтегрального выражения.

3.= ( 3 + 3 2 2 + 4)| = (−1, 1) − (1; 2) = 3 − 29 = −26.

Ответ: = −26.

Понятие потенциальной вектор-функции легко обобщается на 3-хмерный случай. Рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода вдоль пространственной кривой :

∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) .

Определение 2.9.

( , , )

Вектор-функция ( ) = ( ( , , )) - называется потенциальной в области( , , )

3, если существует дифференцируемая в области функция ( , , ) такая, что ее полный дифференциал равен подынтегральному выражению:

( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) ( , , ) .

При этом функция ( , , ) называется потенциалом вектор-функции ( ) или

первообразной для выражения ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) .

Очевидно, что условие: ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , )( , , ) - равносильно системе дифференциальных уравнений в частных

= ( , , )

производных: = ( , , ).

{ = ( , , )

Здесь также имеет место обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

∫̆ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) = ∫̆ ( , , ) = ∫ ( , , ) = = ( , , )| = ( ) − ( ) = ( , , ) − ( , , ).

Из этой формулы следует, что в случае потенциальной вектор-функции криволинейный интеграл 2 рода вдоль пространственной кривой также не зависит от пути, а зависит только от его начала и конца.

Общие условия независимости криволинейного интеграла 2 рода вдоль пространственной кривой будут обсуждаться далее в главе 4 «Элементы теории поля».

29

Пример 2.16.

Вычислить:

а)

= ∫

+ 32 − 23 , где

(2; 1; 0), (4; −1; 2);

̆

б)

= ∫̆

+ + , где

(4; 1; 1), (1; 2; 3).

Решение.

а) = ∫̆ + 32 − 23 = ∫̆

(

2

) + (3) − (

4

) = ∫̆

(

2

+ 3 −

4

) =

2

= (

2

+ 3 −

4

) | = (8 − 1 − 8) − (2 + 1 − 0) = −4.

2

б) = ∫

+ + = ∫

( ) = ( )| = 1∙2∙3 − 4∙1∙1 = 6 − 4 = 2.

̆

Ответ: а) = −4;

б) = 2.

Приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Площадь плоской фигуры: ( ) =

1

∙

( − ).

2

Работа силы

по перемещению материальной точки вдоль кривой :

= ∫

(, ) + (, ) - для плоской кривой;

( ) ∙ = ∫

= ∫

(, , ) + (, , ) + (, , ) - для

( ) ∙ = ∫

пространственной кривой.

Пример 2.17.

Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой:

{

= ∙ 3

(рис. 2.34).

= ∙ 3

Решение.

Вычислим площадь по формуле:

=

1

∙ ( − ).

2

При обходе фигуры вдоль кривой

Рис. 2.34. К Примеру 2.17

в положительном направлении параметр

изменяется от 0 до 2. Следовательно, имеем:

=

1

∙

( − ) =

1

∙∫2 {3 ∙ 32

∙ + 3 ∙ 32 ∙ } =

2

0

=

1

∙32

∫2 (4 ∙ 2 + 4 ∙ 2) =

1

∙32

∫2 2 ∙ 2 =

2

0

2

0

=

1

∙32

∫2

1

∙ 22 =

1

∙32

∫2

1− 4

=

1

∙32 ( −

1

4 ) |02

=

3 2

.

2

0

4

8

0

2

16

4

8

Ответ:

=

3 2

.

8

Пример 2.18.

Найти работу силы

6

∙ + ∙

вдоль кривой =

3

от точки (0; 0) до

= 4

точки (1; 1).

Решение.

Вычислим работу по формуле: = ∫

(, ) + (, ) .

( ) ∙ = ∫

В нашем случае получим:

= ∫ (46 ∙ + ∙ ) = ∫01(46 ∙ + ∙ 3 ∙ 32 ∙ ) = ∫01 76 = 7|10 = 1.

Ответ: = 1.

Материал: Все лекции

Смотрите также: