Документ: Все лекции, страницы 56-60 | Студенческое хранилище

20

б)

( , ) = 2,

= 2,

= 2; : {

02≤ ≤ 1

;

≤ ≤

2 + 2 =

(2 − 2 ) = 2

( − ) = 2 ∫1(∫ 2( − ) ) =

0

= 2 ∫1(∫ 2 −

∫ 2 ) = 2 ∫1

( ∙ | 2

−

2

| 2) = 2 ∫1 (2

− 3 −

2

+

4

) =

2

0

2

0

2

= 2 ∫1 (

2

− 3 +

4

) = 2 (

3

−

4

+

5

) |10

= 2 (

1

−

1

+

1

) =

1

.

2

0

6

4

10

6

4

10

30

Ответ:

1

.

30

Из формулы Грина как следствие получаются формулы для вычисления площади

фигуры, ограниченной заданным контуром.

Пусть ( , ) = , ( , ) =

0;

тогда имеем:

= 0,

= 1 и

= (0 − 1) = −

= − ( ) ( ) = − .

Пусть ( , ) = 0, ( , ) = ;

тогда имеем:

= 1,

= 0 и

= (1 − 0) =

= ( ) ( ) = .

Если сложить полученные равенства, то получим:

2∙( ) = ( − ).

Таким образом, имеем следующие формулы:

( ) =

,

( ) = −

,

( ) =

1

∙

( − )

.

2

Пример 2.14.

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом:

2

2 + 2 = 1 (рис. 2.24).

Решение.

Контур эллипса можно задать

параметрическими уравнениями:

= ∙

[0; 2 ].

{ = ∙

,

Рис. 2.24. К Примеру 2.14

Тогда по формуле: ( ) =

1

∙

( − ) –

2

получим:

( ) =

1

∫2{ ∙ ∙ ( ∙ ) − ∙ ∙ ( ∙ )} =

2

0

=

∙

∫2(2 + 2) =

∙

∫2 =

∙

∙2 = .

2

0

2

0

2

Ответ:

элл. = .

2.5.3. Многосвязные области

До сих пор мы рассматривали связные области ,

ограниченные простым замкнутым контуром . Такие

области будем называть односвязными областями (рис. 2.25).

Если связная область ограничена двумя

простыми замкнутыми контурами, не пересекающимися

	друг с другом (один из них лежит внутри другого), то	Рис. 2.25.
	такая область называется двусвязной областью.
		Односвязная область
	Если связная область ограничена тремя простыми

замкнутыми контурами, не пересекающимися друг с другом (два из них лежит внутри третьего), то такая область называется трехсвязной областью (рис. 2.26) и (рис. 2.27) и т.д.

		21
1	1
1	1
		3
2
	2
	2


Рис. 2.26.	Рис. 2.27.
Рис. 2.26.

Двусвязная область	Трехсвязная область

Определение 2.5.

Связная область называется -связной ( ≥ 2) областью, если она ограничена простыми замкнутыми контурами, не пересекающимися друг с другом, причем ( − 1) контуров из них лежат внутри одного контура.

«Неодносвязность» области определяется наличием
«Неодносвязность» области определяется наличием
«дырок» внутри области ; причем эти «дырки» могут						1
«дырок» внутри области ; причем эти «дырки» могут
состоять даже из единственной точки. Например,						1
						1
круг с выколотым центром (рис. 2.28):
= {( , ) 2: 0 < 2 + 2 ≤ 1} - двусвязная область.
Односвязная область – это область «без дырок».
Формула Грина была получена для односвязных областей.						Рис. 2.28. Пример
Для многосвязных областей также справедлива формула						двусвязной области
Грина, но с некоторыми уточнениями.
Пусть - -связная область, ограниченная контурами , , …, . Введем
				1	2
обозначение: =			… . Рассмотрим интеграл:
	1	2
	( , ) + ( , ) = {… } + {… } + … +					{… }, где
			1	2
направление обхода по каждому контуру ,				= 1 ÷ – выбирается положительным, т.е.

таким, при котором ближайшая часть области остается слева от направления движения. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.8 (формула Грина для многосвязных областей).

Пусть - -связная область, ограниченная контурами 1, 2, …, .

Пусть функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и

непрерывны частные производные

и

. Тогда справедлива формула Грина:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

, где

=

… .

1

2

Доказательство.

Докажем эту формулу для случая двусвязной области (рис. 2.29); в общем случае доказательство проводится аналогично. Выберем на внешнем контуре 1 точки 1, 2, а

на внутреннем контуре 2 - точки 1, 2. Соединим точки															1	и 1, 2 и 2 дугами		̆
на внутреннем контуре 2 - точки 1, 2. Соединим точки															1	и 1, 2 и 2 дугами		1 1
и	̆													= 1			2.
и	2 2. Область при этом разбивается на две области:													= 1			2.
	Область ограничена контуром ′									= ( ),							область ограничена
		1							1	2	1	1	1	2	2	2	2
контуром ′		= ( )							(рис. 2.29). Области						и - односвязные, значит к
	2	1	1	2	2	2	1	1						1		2

ним можно применить формулу Грина:

22

′1 ( + ) = 1 ( − ) ,′2 ( + ) = 2 ( − ) .

Применяя свойство аддитивности двойного и криволинейного интеграла, получим:

( − ) =

=1 ( − ) + 2 ( − ) =

=′1 ( + ) + ′2 ( + ) =

= ′1 ′2( + ).

Преобразуем контур ′1 ′2:

′1 ′2 = 1 2 ̆1 1 ̆2 2 ̆1 1 ̆2 2

	1
	1	1
		1
1
	2	1
	2	2
		2
1		2
2	2
2
1		2

Рис. 2.29. Иллюстрация к

доказательству теоремы 2.8

= ̆1 1 ̆1 1 ̆2 2 ̆2 2.

Далее используем свойства аддитивности и антисимметричности криволинейного

интеграла 2 рода. Интегралы по дугам	̆ ̆	̆ ̆	-
	1 1 и 1 1, а также	2 2 и 2 2

противоположны по значению, поэтому суммы интегралов по этим дугам равны нулю. В результате получим:

′ ′ ( + ) = ( + ) + ∫̆ ( + ) + ∫̆ ( + ) +
1 2					1 1		1 1
+ ∫̆	( + ) + ∫̆	( + ) = ( + ) + ∫̆						( + ) −
2 2	2 2						1 1
− ∫̆	( + ) + ∫̆	( + ) − ∫̆					( + ) =	+ .
1 1	2 2					2 2
	Окончательно имеем:		(	−		) = + .		Теорема доказана.
	Окончательно имеем:		(	−		) = + .		Теорема доказана.

2.6. Условия независимости криволинейного интеграла от пути

Важнейшим свойством криволинейного интеграла 2 рода является так называемое свойство «независимости» интеграла от пути интегрирования. Однако оно справедливо не для всех криволинейных интегралов. Выяснению условий, при которых это свойство выполняется, и посвящен этот параграф.

2.6.1. Понятие независимости интеграла от пути

Пусть даны функции ( , ) и ( , ), непрерывные в некоторой области 2. Область может быть ограниченной или неограниченной областью, в частности может и совпадать со всей плоскостью 2.

Для произвольных фиксированных точек , рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода:

( ) = ∫ ( , ) + ( , )

вдоль простой кривой , соединяющей точки и (рис. 2.30).

Определение 2.6.

Если ( ) вдоль любой кривой , соединяющей точки и , принимает одно и то же значение, то говорят,

что криволинейный интеграл 2 рода не зависит

1

	2

Рис. 2.30. Иллюстрация к понятию

независимости интеграла от пути

23

от кривой, соединяющей точки и (а зависит только от самих точек и ):

		(1) = (2) 1, 2	,		̆	̆
					1 = ,	2 = (рис. 2.30).
		В этом случае криволинейный интеграл 2 рода может быть записан в виде:
∫	( , ) + ( , ) = ∫			( , ) + ( , ) = ∫ ( , ) + ( , ) .
		̆

		По форме записи это напоминает определенный интеграл, только вместо чисел
и		здесь стоят и - точки на плоскости.
Определение 2.7.
		Криволинейный интеграл 2 рода ( ) называется не зависящим от пути

интегрирования в области , если для любых точек , этот интеграл не зависит от кривой, соединяющей точки и .

	Наряду с интегралом ∫ ( , ) + ( , ) рассмотрим интеграл по
замкнутому контуру					( , ) + ( , ) .		Здесь - означает некоторую
переменную кривую, в первом случае - произвольную кривую, во втором случае -
замкнутую кривую.
Лемма 2.1.
	Пусть – произвольная область в 2. Тогда следующие утверждения
равносильны:
1)	Криволинейный интеграл 2 рода ∫					( , ) + ( , ) не зависит от пути
	интегрирования в области .
2)	Криволинейный интеграл 2 рода					( , ) + ( , ) по любому замкнутому
	контуру в области равен нулю.
Доказательство.
Доказательство.
1)	Пусть ∫ + не зависит от пути
интегрирования в области . Рассмотрим
интегрирования в области . Рассмотрим
произвольный контур = ( ) в области
(рис. 2.31). По свойствам аддитивности и
(рис. 2.31). По свойствам аддитивности и
антисимметричности имеем:

+ = ∫̆			+ + ∫̆ + =

= ∫̆ + −		∫̆ + .					Рис. 2.31. Иллюстрация к
							доказательству Леммы 2.1
	Так как интеграл не зависит от пути, то						доказательству Леммы 2.1
	Так как интеграл не зависит от пути, то
∫̆	+ = ∫̆				+

	+ = ∫̆			+ − ∫̆		+ = 0.

Значит, интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

2) Пусть	( , ) + ( , ) = 0	по любому замкнутому контуру в области .
Выбираем произвольные точки , и соединим их произвольными путями:
	̆	̆
	1 = , 2	= .

Надо доказать, что ∫ 1 + = ∫ 2 + .

Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда кривые 1 и 2 не пересекаются, т.е. 1 ∩ 2 = . Тогда = ( ) - простой замкнутый контур и,

24

следовательно, имеем:		( , ) + ( , ) = 0. Вычислим разность интегралов:
∫	+ − ∫	+ = ∫̆	+ − ∫̆ + =
2	1
= ∫̆ + + ∫̆ + = ( , ) + ( , ) = 0. Получаем:

∫ 2 + − ∫ 1 + = 0, т.е. ∫ 1 + = ∫ 2 + для любых путей

1, 2, соединяющих точки , . Значит, интеграл не зависит от пути интегрирования. Лемма доказана.

2.6.2. Потенциальная вектор-функция

Введем следующее понятие.
Определение 2.8.
		( , )
Вектор-функция	( ) = (( , ))		называется потенциальной в области , если

существует такая функция ( , ), дифференцируемая в области , что ее полный дифференциал совпадает с подынтегральным выражением криволинейного интеграла:

( , ) = ( , ) + ( , )		( , ) .

При этом функция ( , ) называется «потенциалом» вектор-функции ( ) или
первообразной для выражения ( , ) + ( , ) .
Очевидно, что условие ( , ) = ( , ) + ( , )			( , ) -
равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных:
	= ( , )
{	= ( , )
{	( , ) .
	= ( , )
	= ( , )

Для выяснения условий независимости от пути криволинейного интеграла 2 рода ∫ ( , ) + ( , ) в области мы в дальнейшем будем предполагать, что:

-область - односвязная область;

-функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и

непрерывны частные производные

( , ) и

( , ).

Замечание 2.5.

( , )

Если ( ) = (( , )) - потенциальная вектор-функция в области , то

выполняется равенство:

( , ) =

( , ) для всех точек ( , ) .

Действительно:

( , ) =

( ( , )) =

(

) =

2

=

2

=

(

) =

( ( , )) =

( , ).

Теорема 2.9.

Если криволинейный интеграл 2 рода: ∫

( , ) + ( , ) - не зависит от

( , )

пути интегрирования в области , то ( )

= (( , )) - потенциальная вектор-функция.

Доказательство.

Надо доказать существование функции ( , ), для которой выполняются условия:

Материал: Все лекции

Смотрите также: