Документ: Все лекции, страницы 46-50 | Студенческое хранилище

Материал: Все лекции

Смотрите также:

10

2.4. Криволинейный интеграл 2 рода

Вначале рассмотрим задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла 2 рода.

2.4.1. Задача о вычислении работы переменной силы вдоль кривой

Предположим, что материальная точка перемещается вдоль кривой под

(рис. 2.10).

действием переменной силы

Требуется найти работу , которую

при перемещении точки

( )

совершает сила

из пункта в пункт .

Частный случай этой задачи рассмотрен

в работе [4], . .

Из курса физики известно, что если

сила постоянна (по величине и направлению),

0

а линия = [ ] - отрезок прямой, то

работа равна скалярному произведению

вектора силы на вектор перемещения:

Рис. 2.10. Перемещение точки

= ∙ = | |∙| |∙ ,

вдоль кривой

где - угол между векторами

и

.

Для решения задачи в общем случае разобьем кривую на частичные дуги

точками ≡ , , … ,

−1

,

≡ :

0

1

̆

,

̆

- дуга

(

), = 1 ÷ .

=

2

…

где

1

−1

Далее на каждой частичной дуге выберем произвольную точку ̆ , = 1 ÷ (рис. 2.11).

Если частичные дуги имеют достаточно малые размеры, то вектор силы на этом участке можно считать постоянным и равным ( ), а дугу (−1 ) - можно считать отрезком прямой.

Тогда работа силы на этом участке приближенно равна: ≈ ( )∙∆ ,

( )

∆

−1

Рис. 2.11. Вычисление

работы на частичных дугах

где			,	= 1 ÷ .
где	∆	=	,	= 1 ÷ .
		−1
	Вся работа			равна сумме работ на частичных участках:

= ∑=1 ≈ ∑=1 ( )∙∆ .

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше размеры частичных дуг или модули векторов ∆ , = 1 ÷ ; другими словами, чем меньше ранг разбиения

λ = |∆ |, тем точнее эта приближенная формула.

1≤ ≤

В пределе при λ → 0 получим точное равенство:

=		∑
=		∑	=1	(	)∙∆ .
	λ → 0		=1
	λ → 0

2.4.2. Понятие криволинейного интеграла 2 рода

Пусть = ̆ - простая кривая на плоскости или в пространстве, на которой задана вектор - функция ( ), . Выберем направление на кривой, идущее от точки

к точке . Выполним следующие действия.

1. Разбиение кривой на частичные дуги точками 0 ≡ , 1, … , −1, ≡ :

		̆		̆		̆	(рис. 2.12),
	= 1		2 …				(рис. 2.12),
где	̆	- дуга			(	),	= 1 ÷ .
где		- дуга			(	),	= 1 ÷ .
					−1
2. Выбор промежуточных точек:
			̆		, = 1 ÷ .
					, = 1 ÷ .

3. Вычисление скалярных произведений векторов:

						,	= 1 ÷ ,
			(		) ∙ ∆	,	= 1 ÷ ,

где				– вектор, соединяющий
где	∆	=	−1	– вектор, соединяющий
			−1

начало и конец дуги (−1 ), и вычисление интегральной суммы:

= ∑=1 ( )∙∆ .

Пусть λ =
	\|∆ \| - ранг разбиения.
1≤ ≤

11

−2 −1

2

1

Рис. 2.12. Разбиение кривой

Определение 2.3.

Число называется пределом интегральных сумм при λ → 0, если для > 0> 0 такое, что для любого разбиения кривой с рангом разбиения λ < и при любом выборе промежуточных точек { }=1 выполняется неравенство:

		\|	− \| < .

Запись: =	- означает, что при λ → 0 этот предел существует, он не
	λ → 0

зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .

Определение 2.4.

Конечный предел интегральных сумм при λ → 0 называется

криволинейным интегралом 2 рода (или криволинейным интегралом по координатам)

от вектор-функции ( ) вдоль кривой .

Обозначение: ∫		(	)	Следовательно, по определению имеем:
Обозначение: ∫			∙.	Следовательно, по определению имеем:
	∫					∑				.
	∫	( ) ∙ =				∑	=1	(	) ∙ ∆	.
					λ → 0		=1

Запишем криволинейный интеграл 2 рода в координатной форме.

В случае пространственной кривой вектор-функция ( ) задается тремя координатными функциями:


( ) = (, , )∙ + (, , )∙ + (, , )∙ .


Пусть = - радиус-вектор точки ( , , ) , тогда имеем:
∆

∆ = (∆ ) = ∆ ∙ + ∆ ∙ + ∆ ∙				и = ( ) = ∙ + ∙ + ∙ ,
∆

( )∙ = (, , ) + (, , ) + (, , ) .
В этом случае криволинейный интеграл 2 рода запишется в виде:
∫
∫	( ) ∙ = ∫ (, , ) + (, , ) + (, , ) .
В случае плоской кривой получим:
	( , )
( ) = (( , ))			= (, )∙ + (, )∙ ,		= ( ) = ∙ + ∙ ,

	( )∙ = (, ) + (, ) ,
	∫
	∫	( )∙ = ∫ (, ) + (, ) .

Таким образом, согласно определению имеем:

12

∫

( , , ) + ( , , ) + ( , , ) =

=

∑

{ ( , , )∆ + (

, ,

)∆

+ (

, ,

)∆ };

λ → 0

=1

∫ ( , ) + ( , ) =

∑

{ ( , )∆ + ( ,

)∆

}.

λ → 0

=1

Вектор-функция ( ), для которой существует криволинейный интеграл 2 рода, называется интегрируемой вдоль кривой .

Пример 2.9.

∫				0 = 0	∫
∫	0∙ =	∑=1	0∙∆ =	0 = 0	∫	0∙ = 0,
		λ → 0		λ → 0
		λ → 0		λ → 0

т.е. криволинейный интеграл 2 рода от нулевой вектор-функции равен нулю. Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода.

Криволинейный интеграл 2 рода от вектор-функции ( ) вдоль кривой равен работе , совершаемой силой по перемещению материальной точки вдоль кривой :

( )∙ .= ∫

Пример 2.10.

		вдоль
Найти работу силы ( ) = (, )∙

плоской кривой , лежащей в плоскости (рис. 2.13).

Решение.

= ∫			∑
= ∫	( )∙ =		∑	=1	(	)∙∆ .
		λ → 0		=1

Здесь вектор силы ортогонален вектору перемещения:

( )

0

Рис. 2.13. К Примеру 2.10

Ответ: = 0.

Условия существования криволинейного интеграла 2 рода от вектор-функции (интегрируемости вектор-функции) сформулированы в следующем утверждении. Теорема 2.5 (достаточное условие интегрируемости).

Пусть - простая гладкая кривая, а вектор-функция ( ) - непрерывна на кривой

(непрерывны все ее координатные функции). Тогда ( ) интегрируема вдоль кривой .

Доказательство этой теоремы есть в работе [1].

2.4.3. Свойства криволинейного интеграла 2 рода

Пусть вектор-функции

( ) и ( ) - интегрируемы вдоль кривой . Тогда

справедливы следующие свойства.

1. Антисимметричность.

При изменении направления кривой криволинейный интеграл 2 рода

меняет знак:

∫̆

(

)

(

)

∙ = − ∫̆

∙ .

2. Линейность.

а) постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла 2 рода:

∫

(

)

(

)

( ∙

)∙ = ∙∫

∙ , = ;

б) криволинейный интеграл 2 рода от суммы вектор-функций равен сумме криволинейных интегралов 2 рода от этих вектор-функций:

13

(		)	(	)		(	)	(	)
∫ (			+		)∙ = ∫		∙ + ∫		∙ .

Свойство линейности можно записать в следующем виде:

∫	(		)	(	)		(	)	(	)	1, 2 = .
∫	(1 ∙			+ 2 ∙		)∙ = 1∙∫		∙ + 2∙∫		∙	1, 2 = .

3. Аддитивность.

Если кривая разбита на две дуги, то криволинейный интеграл 2 рода по всей кривой равен сумме криволинейных интегралов 2 рода по каждой из этих дуг:

∫

(

)

(

)

(

)

∙ =

∫ 1

∙ + ∫ 2

∙ ,

где = 1 2

и

1

∩ 2 = .

Доказательство.

1.

∫

( )∙ = ∑

=1

(

)∙

,

̆

−1

λ → 0

∫

;

так как

, = 1 ÷ , то

( )∙ = ∑

=1

(

)∙

= −

̆

−1

λ → 0

получаем:

∫̆ ( )∙ = − ∫̆

( )∙ .

2.

∫

(

∑

(

) +

∙ ( ) +

∙ ( ))∙ =

=1

∙ (

∙ ( ))∙∆ =

1

2

λ → 0

1

2

= ∑

(

+

)

∙ (

) ∙ ∆

∙ (

∙ ∆ ) =

λ → 0

=1

1

2

= (∑

+

∑

=1

∙ ( )

∙ ∆

=1

∙ ( )

∙ ∆ ) =

λ → 0

1

2

=

∑

+ ∑

=

∙ (

)∙∆

∙ (

)∙∆

λ → 0

=1

1

λ → 0

=1

2

= ∙

∑

+ ∙ ∑

=

(

)∙∆

(

)∙∆

1 λ → 0

=1

2

λ → 0

=1

= 1∙∫

( )∙ + 2∙∫

( )∙ .

3.

̆

на частичные дуги, чтобы

Рассмотрим такое разбиение кривой =

…

1

2

точка пересечения

и

оказалась бы одной из точек разбиения .

Введем

1

2

обозначения интегральных сумм:

( ) = ∑

- по кривой ;

=1

( )∙∆

(1)

(

)

= ∑

- по дуге ;

=1

(

)∙∆

1

(2)

(

)

= ∑

- по дуге .

= +1

(

)∙∆

2

Тогда имеем: ( ) = (1)( )

+ (2)(

).

1

2

Переходя к пределу в этом равенстве при λ → 0, получим:

∫

(

)

(

)

(

)

∙ = ∫ 1

∙ + ∫ 2

∙ .

2.4.4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода, как и криволинейного интеграла 1 рода, сводится к вычислению определенного интеграла.

Теорема 2.6.

Пусть простая гладкая кривая = ̆ - задана параметрическими уравнениями:

= ( )

{ = ( ), [ ; ], где ( ), ( ), ( ) - непрерывно-дифференцируемые функции на

= ( )

отрезке [ ; ], причем ( ( ), ( ), ( )), ( ( ), ( ), ( )).

		14
Пусть вектор-функция		- непрерывна
	( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙

на кривой , т.е. непрерывны функции ( , , ), ( , , ) и ( , , ) при ( , , ) .

Тогда справедливо равенство:

∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) = . = ∫ { ( ( ), ( ), ( )) ∙ ′( ) + ( ( ), ( ), ( )) ∙ ′( ) + ( ( ), ( ), ( )) ∙ ′( )}

Доказательство этой теоремы также можно найти в работе [1].

Вслучае плоской кривой = ̆ : { = ( ), [ ; ] – получаем формулу:

= ( )

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( ( ), ( )) ∙ ′( ) + ( ( ), ( )) ∙ ′( )} .

Если плоская кривая = ̆ - задана явным уравнением: = ( ), [ ; ], или= ( ), [ ; ] - то формула принимает вид:

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( , ( )) + ( , ( )) ∙ ′( )} , или

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( ( ), ) ∙ ′( ) + ( ( ), )} .

Пример 2.11.

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода:

= 3

= ∫ ( + ) + 2 + , где : { = 2, [0; 1].=

Решение.

= ∫ ( + ) + 2 + = ∫1{( 3 + 2) ∙ 3 2 + 2 ∙ 2 + 5 ∙ } =
														0
= ∫1(4 5		+ 3 4 + 4 2) = (						2 6				+	3 5	+	4 3			) \|10 = 2				3		.
= ∫1(4 5		+ 3 4 + 4 2) = (										+	5	+				) \|10 = 2						.
	0						3						5	3							5
Ответ: = 2			3	.
Ответ: = 2		5		.
		5
Пример 2.12.

	Вычислить криволинейный интеграл 2 рода:
= ∫	2 −				2	- вдоль различных кривых,																								1
= ∫	2 −					- вдоль различных кривых,																								1
соединяющих точки (0; 0) и (2; 1):																																							2
	а) прямая [ ],																																						2
	б) парабола с осью ,
	в) ломаная [ ], где (2; 0) (рис. 2.14).																								Рис. 2.14. К Примеру 2.12
																									Рис. 2.14. К Примеру 2.12
Решение.
	а) Отрезок прямой линии [ ] задается уравнением: =																														1		,			[0; 2].
	а) Отрезок прямой линии [ ] задается уравнением: =																													2			,			[0; 2].
																														2
Следовательно, имеем:
= ∫	(2 − 2 ) = ∫2						(2 ∙		1		− 2 ∙					1			) =		1		∙∫2 2					=							1		∙	3	\|02 = 1	1	.
= ∫	(2 − 2 ) = ∫2						(2 ∙				− 2 ∙								) =				∙∫2 2					=							2		∙		\|02 = 1		.
						0	2							2							2				0										2		3			3
	б) Дуга параболы с осью задается уравнением:																								=				1	2,							[0; 2].				Значит:
	б) Дуга параболы с осью задается уравнением:																								=			4		2,							[0; 2].				Значит:
																												4
= ∫	(2 − 2 ) = ∫02 (2 ∙								1	2 − 2 ∙							1			) = ∫02 (						1	3 −							1		3) = ∫02 0 = 0.
= ∫	(2 − 2 ) = ∫02 (2 ∙								4	2 − 2 ∙							2			) = ∫02 (						2	3 −							2		3) = ∫02 0 = 0.
	в) Ломаная линия [ ] разбивается на два отрезка:
= 1 2, где 1 = [ ]:							{0 ≤ ≤ 2,							2 = [ ]: {										= 2								. Следовательно:
							= 0														0 ≤ ≤ 1

( ) ∆ ( )∙∆ = 0,

Следовательно, имеем: