Документ: Все лекции, страницы 41-45 | Студенческое хранилище

5

2.2.2. Вычисление интеграла вдоль пространственной кривой

Рассмотрим гладкую кривую , заданную параметрическими уравнениями:

= ( )

{ = ( ), [ ; ], где ( ), ( ), ( ) - непрерывно-дифференцируемые функции.

= ( )

Для дальнейших выкладок нам потребуется формула для длины кривой. Как известно (см. [4], . ), длина кривой вычисляется по формуле:


		\| \| = ∫ √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2			.
			̆				- имеем:
Соответственно, для длины дуги = \| \|, где ( ( ), ( ), ( ))							- имеем:
	= ( ) = ∫ √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2			,		≤ ≤ .
При этом производная функции ( ) равна:

′( ) = √( ′( ))2 + ( ′( ))2 + ( ′( ))2 > 0			[ ; ], что обеспечивает строгое

возрастание функции ( ).

Теорема 2.5.

Пусть - гладкая кривая - задана параметрическими уравнениями:

= ( )

{ = ( ), [ ; ]; пусть функция ( , , ) непрерывна на кривой .

= ( )

Тогда справедлива формула:

∫

( , , ) = ∫ ( ( ), ( ), ( )) ∙ √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2

.

Доказательство.
В пункте 2.2.1 получена формула: ∫	( , , ) = ∫0\| \| ( ( ), ( ), ( )) .

Сделаем замену переменной в этом определенном интеграле:

= ( ) = ′( ) = √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 [ ( ) = ( ( )) = ( ), ( ) = ( ( )) = ( ), ( ) = ( ( )) = ( )]

0 ≤ ≤ | | ≤ ≤

∫0| | ( ( ), ( ), ( )) = ∫ ( ( ), ( ), ( ))√( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 .

Теорема доказана.

Пример 2.2.

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода = ∫ , где - коническая

			= ∙
винтовая линия (винтовая линия на конусе):			{ = ∙ , [0; √2].
			=
Решение.
	= ∙ ,		= ∙ , =
∫ = [	′( ) = − ∙ ,	′( ) = + ∙ ,		′( ) = 1
∫ = [				] =

= √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 = √2 + 2

= ∫0√2 ∙√2 + 2 = 12 ∫0√2 √2 + 2 (2 + 2) = 13 √(2 + 2)3|√02 = 13 (8 − 2√2) = 23 (4 − √2). Ответ: = 23 (4 − √2).

6

2.2.3. Вычисление интеграла вдоль плоской кривой

= ( )

Вслучае плоской кривой , заданной параметрическими уравнениями: { = ( ),

[ ; ] - имеем следующую формулу для вычисления криволинейного интеграла 1 рода:

∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( ))∙√( ′)2 + ( ′)2 .

Если кривая задана явным уравнением: = ( ), [ ; ] - то формула принимает вид:

∫ ( , ) = ∫ ( , ( ))∙√1 + ( ′( ))2 .

Если кривая задана уравнением в полярных координатах: = ( ), [ ; ] - то формула примет вид:

∫ ( , ) = ∫ [ ( ) , ( ) ]∙√ 2 + ( ′ )2 .

Эти формулы являются следствием формул длины плоской кривой при различных способах задания этой кривой ([4], . ):

| | = ∫

| | = ∫ √1 + ( ′( ))2

| | = ∫ √ 2

+ ( ′ )2

√

( ′)2 + ( ′)2

,

.

Пример 2.3.

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода = ∫

1

,

где – отрезок прямой,

соединяющей точки (1; 1)

и (2; 3).

Решение.

Уравнение отрезка прямой линии , проходящей через две заданные точки (1; 1) и

(2; 3) имеет вид (рис. 2.3):

= 2 − 1, [1; 2].

Применим формулу:

3

∫ ( , ) = ∫ ( , ( ))∙√1 + ( ′( ))2 ,

где = ( ) = 2 − 1,

′( ) = 2.

1

2 1

2

1

(

′)2

∫ =

∫1 ∙√1 +

= ∫1 (2 −1)∙√5 =

2

1

2

1

= √5∙∫1

= √5∙∫1 (

−

) =

1

2

(2 −1)

2 −1

∙ (

2 −1

) |2

3

= √5

= √5∙(

− 1) = √5

∙ 1,5.

Рис. 2.3. Иллюстрация

1

2

к Примеру 2.3

Ответ:

= √5∙ 1,5.

2.3. Приложения криволинейного интеграла 1 рода

Физические приложения

Масса кривой:

= ∫ ( , , ) - для пространственной кривой,

= ∫ ( , ) - для плоской кривой,

где ( , , ) или ( , ) - линейная плотность массы, распределенной вдоль кривой .

Электрический заряд кривой:

= ∫	(, , ) - для пространственной кривой,
= ∫	(, ) - для плоской кривой,

где ( , , ) или ( , ) - линейная плотность заряда, распределенного вдоль кривой .

7

Геометрические приложения

Длина кривой: \| \| = ∫	1∙ .
Длина кривой: \| \| = ∫	1∙ .
Площадь цилиндрической поверхности:
(цил.) = ∫ ( ) =	∫ ( , ) .		= ( , )
(цил.) = ∫ ( ) =	∫ ( , ) .

Здесь цилиндрическая поверхность цил.
(рис. 2.4) задается условиями:
- образующая параллельна оси ;
- направляющей служит кривая , лежащая				цил.
- направляющей служит кривая , лежащая
в плоскости ;
в плоскости ;
- сверху поверхность ограничена кривой:
- сверху поверхность ограничена кривой:
= ( , )		Рис. 2.4. Площадь цилиндрической
{ ( , ) .			поверхности

Механические приложения

Статические моменты плоской кривой относительно координатных осей и :

= ∫	)	,	= ∫	)	.
= ∫	∙(,	,	= ∫	∙(,	.

Статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей , и :

=

∫

)

,

=

∫

)

,

=

∫

)

.

∙(, ,

Координаты центра тяжести (0, 0) - плоской кривой

и (0, 0, 0) -

пространственной кривой:

=

1

∙ ,

=

1

∙

- для плоской кривой;

0

=

1

∙ ,

=

1

∙

,

=

1

∙

- для пространственной кривой.

0

Моменты инерции плоской кривой относительно осей координат , и

точки - начала координат:

=

∫

2

)

=

∫

2

)

,

= + = ∫ (

2

+

2)

)

.

∙(, ,

∙(,

0

Моменты инерции пространственной кривой относительно координатных плоскостей , и , относительно координатных осей , и и относительно точки - начала координат:

= ∫

2

)

=

∫

2

)

,

= ∫

2

)

,

∙(, , ,

∙(, ,

=

∫ (2 + 2)(, , ) ,

=

∫

( 2 + 2)(, , ) ,

=

∫ ( 2 + 2)(, , ) ,

=

+

=

1

( + + ) =

∫

( 2 + 2 + 2)∙(, , ) .

0

2

Пример 2.4.

Найти длину одного витка винтовой линии

= ∙

[0; 2 ] (рис. 2.5).

: { = ∙ ,

= ∙

Решение.

Применим формулу: | | = ∫

1∙ ,

где = √(′)2 + (′)2 + (′)2 . Здесь имеем:

′ = −∙ ,

′

Рис. 2.5. К Примеру 2.4

= ∙ ,

= ,

= √2 + 2

.

8

В результате получим: | | = ∫02 √2 + 2

.

= 2∙√2 + 2

.

Ответ: | | = 2∙√2 + 2

Пример 2.5.

Найти площадь боковой поверхности

прямого кругового цилиндра с радиусом

основания и высотой .

Решение.

Введем систему координат так, чтобы

основание цилиндра лежало в плоскости ,

начало координат совпадало с центром круга, а ось

была параллельна образующей цилиндра (рис. 2.6).

Рис. 2.6. К Примеру 2.5

Направляющей цилиндрической поверхности

будет окружность радиуса . Ограничивающая сверху кривая имеет уравнение:

= ( , ) = , где ( , ) .

Следовательно, получаем:

(цил.) = ∫

( , ) = ∫ = ∙∫

= ∙| | = 2∙ .

Ответ: бок.

цил. = 2∙ .

Пример 2.6.

Найти площадь той части боковой поверхности

прямого кругового цилиндра, которая лежит «под»

= ∙

винтовой линией: { = ∙ sin , [0; 2 ] (рис. 2.7).

= ∙

Рис. 2.7. К Примеру 2.6

Решение.

= ∙

( , ) = [ = ∙ sin ] = ∫02 ∙ √

(цил.) = ∫

(′)2

+ (′)2

=

= ∙

2

= ∫0 ∙ √(− ∙ sin )

2

+ ( ∙

)2

= ∙ ∫0

=

|0

= 2

.

2

Ответ: (

) = 22

.

цил.

Пример 2.7.

Найти массу эллипса 2 + 2 = 1, если

2

плотность массы в точке ( , ) равна (, ) = | |.

Решение.

Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат (рис. 2.8) и четность функции | |, можно найти массу четверти эллипса и умножить результат на 4.

1

√2

Рис. 2.8. К Примеру 2.7

Эллипс можно задать параметрическими уравнениями: { = √2 ∙ , [0; 2 ].

=

Применим формулу для вычисления массы:

( , ) = ∫

= ∫

( ( ), ( ))∙√

(′)2 + (′)2

.

Вычислим массу первой четверти эллипса:

1

( ( ), ( ))∙√

(′)2 + (′)2

= ∫

( )∙√

(′)2

+ (′)2

=

= ∫2

2

4

0

9

																																( ) = ∫1
					∙√22 + 2																		= − ∫			√2 − 2									√2 − 2					=
		= ∫2			∙√22 + 2																		= − ∫		2	√2 − 2									√2 − 2					=
				0																				0										0
											1											) \|10 =		1				1			+		1	= 4∙(				1	) = + 2.
= (									+		1	∙ √2 − 2												1			+	1	=				1				+	1
											2
					√2																				√2			2		4
					√2																				√2			2		4	2				4			2
Ответ: = + 2.
Пример 2.8.
		Найти координаты центра масс контура
однородного сферического треугольника,
однородного сферического треугольника,
расположенного в первом октанте (рис. 2.9):																																2						1
	2	+	2	+			2			=			2	, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0.																		2
		+		+						=				, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0.
Решение.
		Пусть (0, 0, 0) - центр масс


заданного контура. Применим формулы:
заданного контура. Применим формулы:
		=					1		∙					=		1			∙∫ ∙(, , ) ,
							1									1
																																				3
			0																																	3

								1										1			∙∫ ∙(, , ) ,
		=						1		∙					=			1
		=								∙					=
				0

		=				1				∙					=		1			∙∫ ∙(, , ) ,												Рис. 2.9. К Примеру 2.8
		=								∙					=					∙∫ ∙(, , ) ,
			0

= ∫ ( , , ) .

Учитывая, что контур – однородный, т.е. ( , , ) = = , получаем:

= ∫

= ∙∫

= ∙| |,

0

=

1

∙∫

∙ =

1

∙ ∫

=

1

∙∫

,

∙| |

| |

=

1

∙∫

∙ =

1

∙ ∫

=

1

∙∫

,

0

∙| |

| |

0

=

1

∙∫

∙ =

1

∙

∫

=

1

∙∫

.

∙| |

| |

Вычислим ∫

. Разобьем контур на три кривые: = 1 2 3, где

:

{

2 + 2 = 2

,

: {

2 + 2 = 2

: {

2

+ 2

= 2

,

- четверти окружностей радиуса ;

1

= 0

2

= 0

3

= 0

следовательно: | | = 3∙

2

=

3

1

=

2

.

| |

4

2

3

По свойству аддитивности имеем:

∫

= ∫ 1 + ∫ 2 + ∫ 3 .

∫ 1 = ∫ 1 0 = 0;

{

= ∙

, 0 ≤ ≤

= ∙

2

∫ 2 = [

] = ∫0 ∙ ∙ = ∙ |0

= ;

= √(′)2 + (′)2 = ∙

= ∙

{ = ∙ ,

0 ≤ ≤ 2

∫

= [

] = ∫

2

∙ ∙ = 2∙ |2

= 2;

3

0

= √(′)2

+ (′)2

= ∙

∫ = 0 + 2 + 2 = 22.

Аналогично получим:

∫

= 22

и ∫

= 22.

Следовательно:

=

1

∙∫

=

1

∙∫

=

1

∙∫

=

2

∙22 =

4

.

0

| |

3

Ответ: (

4

,

4

,

4

) - центр масс.

3

Материал: Все лекции

Смотрите также: