Документ: Все лекции, страницы 51-55 | Студенческое хранилище

15

=	+ ;		= ∫			(2 − 2) = ∫2(2 ∙ 0 − 2		∙ (0)) = ∫2 0 = 0;
1		2	1	1			0	0
				1			0	0
= ∫		(2 − 2				) = ∫1(4 (2) − 4 ) = ∫1(−4 ) = − 4 ∫1 = −4 \|1				= −4;
2	2					0	0	0	0
	2					0	0	0
= 1 + 2 = 0 − 4 = −4.
Ответ:		а)	= 1	1	;	б) = 0;	в) = −4.
Ответ:		а)	= 1	3	;	б) = 0;	в) = −4.
				3

Замечание 2.4.

Если линия - прямолинейный отрезок на плоскости , параллельный одной из осей координат, то вычисление криволинейного интеграла 2 рода упрощается.

Действительно, пусть = ∫	( , ) + ( , ) .	Тогда имеем:

Рис. 2.15.

= а) если , т.е. : { ≤ ≤

= ∫ ( , ) + ( , ) = ∫

= б) если , т.е. : { ≤ ≤

= ∫ ( , ) + ( , ) = ∫

Рис. 2.16.

(рис. 2.15), то = ( ) = 0 и

( , ) = ∫ ( , ) ;

(рис. 2.16), то = ( ) = 0 и

( , ) = ∫ ( , ) .

Аналогичное упрощение будет и в случае отрезка в пространстве, параллельного одной из осей координат: , или .

2.4.4. Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода

Сравним определения криволинейных интегралов 1 и 2 рода.

∫

( ) = ∑

(

)∙∆

- криволинейный интеграл 1 рода;

λ → 0

=1

∫

∑

- криволинейный интеграл 2 рода.

( )∙ =

=1

(

)∙∆

λ → 0

Здесь ∆

- длина частичной дуги, а

- вектор,

∆

соединяющий концы частичной дуги (рис. 2.17).

Очевидно, что

при λ → 0, т.е.

|∆

|

= 1.

|∆ | ~ ∆

∆

λ → 0

∆

стремится

Кроме того, при λ → 0 направление вектора ∆

Рис. 2.17. Связь

к направлению вектора касательной к кривой в точке :

между ∆

~

(

)∙∆

при λ → 0,

и

∆

0

где ( )

– единичный вектор касательной к кривой в точке ,

= 1 ÷ .

0

Следовательно, имеем:

∑

( )∙∆ =

λ → 0

=1

=

∑

)∙

(

)∙∆

= ∑

(

)∙∆

, где

(

( ) = ( )∙ ( ).

λ → 0

=1

0

λ → 0

=1

0

Таким образом, криволинейные интегралы 1 и 2 рода связаны формулой:

∫

или в сокращенной записи:

( ) ∙ = ∫

(( ) ∙ 0( ))

∫

.

∙ =

∫ ( ∙ 0)

16

Влевой части этой формулы стоит криволинейный интеграл 2 рода, в правой части

–1 рода, а 0 – единичный вектор касательной к кривой .

Вкоординатной форме эта связь примет вид:

	∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) =
= ∫	{ ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ } ,

где { , , } - направляющие косинусы единичного вектора касательной 0. В случае плоской кривой получим:

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( , ) ∙ + ( , ) ∙ } .

2.5. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру

Рассмотрим криволинейный интеграл 2	рода ∫		по замкнутому контуру ,
		( )∙
т.е. вдоль простой кривой, у которой начало и	конец совпадают.		Для таких интегралов

принято следующее обозначение:

	(		)

				∙ .
При этом должно быть указано направление
движения по этому контуру.
Если направление на этой кривой выбрано, то

зафиксировав начальную точку, например, точку ,					0
имеем по определению (рис. 2.18):



( ) ∙ =		∫( ) ( ) ∙ .			Рис. 2.18. Замкнутый контур
Заметим, что значение интеграла не зависит

от выбора начальной точки. Действительно, если взять точку в качестве начальной точки, то получим:


( ) ∙ = ∫( )		( ) ∙ = ∫( )		( ) ∙

	= ∫( ) ( ) ∙ +		∫( ) ( ) ∙ = ∫( )


+ ∫( ) ( ) ∙ =

( ) ∙ =		( ) ∙ .

Направление движения по пространственной кривой случае приходится указывать особо.

В случае плоской кривой различают

положительное и отрицательное направления
положительное и отрицательное направления
обхода контура.
Положительным считается
такое направление, при котором
ближайшая часть области остается
слева от направления движения (рис. 2.19).
Обратное направление при этом
считается отрицательным.
В дальнейшем запись вида:

в каждом конкретном

	( , ) + ( , ) -	Рис. 2.19. Положительное
		направление обхода контура
	будет означать криволинейный интеграл 2 рода

	по замкнутому контуру на плоскости в положительном направлении.

17

2.5.1. Связь между криволинейным интегралом 2 рода и двойным интегралом

Рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода:

	( , ) + ( , ) ,	Y	= 2( )

где - замкнутый контур на плоскости.

1. Предположим, что контур ограничивает на плоскости область , правильную в направлении оси (см. 1.3.1).

В этом случае контур состоит из отрезков [1 2], [1 2], параллельных оси и кривых:

̆	2	: = 1( ), [ ; ]},
1 1	= { ( , )	: = 1( ), [ ; ]},
̆	2	: = 2( ), [ ; ]}
2 2	= { ( , )	: = 2( ), [ ; ]}

(рис. 2.20).

Пусть функция ( , ) непрерывна

2	2

1

1
	= 1( )
		X

Рис. 2.20. Контур области, правильной в направлении оси

в области и пусть в этой области существует и непрерывна частная производная .

Установим связь между криволинейным интегралом 2 рода ( , ) и

двойным интегралом ( , ) .

Выразим двойной интеграл по правильной области через повторный интеграл:

( , ) = ∫ (∫ 2( ) ( , ) ) .

1( )

		2( )		( )
Учитывая, что	∫		( , ) = ( , )\|	2	= ( ,	2	( )) − ( , ( )), получим:
				1( )
	1( )						1

( , ) = ∫ { ( , 2( )) − ( , 1( ))} .

С другой стороны, по свойству аддитивности криволинейного интеграла имеем:

	( , ) = ∫̆ ( , ) + ∫			( , ) + ∫̆			( , ) + ∫		( , ) .
		1 1	[1 2]			2 2		[2 1]
	Так как отрезки [1 2] и [1 2] параллельны оси , то
		∫[1 2] ( , ) = ∫[2 1] ( , ) = 0 (см. Замечание 2.4).
Следовательно, имеем:
		( , ) = ∫	( , ) + ∫		( , ) = ∫ ( , ( )) +
		̆	̆					1
		1 1	2 2
	+ ∫ ( , 2( ))		= ∫ ( , 1( )) − ∫			( , 2( )) =

	= − ∫ { ( , 2( )) − ( , 1( ))} .

Сравнивая найденные выражения, получаем:

( , ) = − ( , ) .

Полученная формула верна и в случае, когда область , ограниченная контуром , не является правильной относительно оси , но ее можно разбить на конечное число

правильных областей прямыми, параллельными оси . Покажем это.

Пусть, например, область разбита на три области: = 1 2 3 прямой [ ]

	3
	1


	2

Рис. 2.21. Разбиение неправильной

области на правильные подобласти

(рис. 2.21).

18

Тогда для каждой из областей 1, 2, 3 верна формула:

( , ) = − ( , ) , = 1 ÷ 3.

При этом контур 1 состоит из части контура и отрезка прямой [ ]; контур 2 состоит из части контура и отрезка прямой [ ]; контур 3 состоит из части контура и отрезка прямой [ ].

Складывая эти формулы, получим в правой части равенства: − ( , ) ,

а в левой части: ∫ ′ ( , ) , где ′ = [ ] [ ] [ ].

Из свойств аддитивности и антисимметричности криволинейного интеграла 2 рода имеем:

∫ ′ ( , ) = ( , ) + ∫

( , ) + ∫

( , ) +

∫

( , ) =

[ ]

=

( , ) + ∫[ ] ( , ) + ∫[ ] ( , ) − ∫[ ] ( , ) − ∫[ ] ( , ) =

=

( , ) .

Откуда и получаем нужную формулу:

( , ) = −

( , ) .

2. Теперь предположим, что контур

Y

ограничивает на плоскости область ,

2

правильную в направлении оси (см. 1.3.1).

В этом случае контур состоит

= 1( )

из отрезков [1 1], [2 2], параллельных

оси (рис. 2.22) и кривых:

̆

= { ( , )

2

: = 1( ),

[ ; ]},

=

( )

2 1

2

̆

1

= { ( , )

2

: = 2( ),

[ ; ]}.

1

1 2

Пусть функция ( , ) непрерывна

X

в области и пусть в этой области существует

и непрерывна частная производная

.

Рис. 2.22. Контур области,

правильной в направлении оси

Установим связь между криволинейным

интегралом 2 рода

( , ) и двойным интегралом

( , ) .

Выразим двойной интеграл по правильной области через повторный интеграл:

( , ) = ∫ (∫ 2( ) ( , ) ) .

1( )

		2( )					( )
Учитывая, что	∫			( , ) = ( , )\|	2				= (	2	( ), ) − ( ( ), ), получим:
					1( )
	1( )										1
			( , ) = ∫ { (					( ), ) − ( ( ), )} .
						2
											1

С другой стороны, по свойству аддитивности криволинейного интеграла имеем:

	( , ) = ∫̆			( , ) + ∫		( , ) + ∫̆	( , ) + ∫			( , ) .
		2 1		[1 1]		1 2		[2 2]
	Так как отрезки [1 1], [2 2] параллельны оси , то
	∫[1 1] ( , ) = ∫[2 2] ( , ) = 0 (см. Замечание 2.4).
Следовательно, имеем:
	( , ) = ∫	̆	( , ) + ∫		( , ) = ∫ ( ( ), ) + ∫				(		2	( ), )
		̆		̆			1				2
	2 1			1 2

= − ∫ (1( ), ) + ∫ (2( ), ) = ∫ { (2( ), ) − (1( ), )} .

19

Сравнивая найденные выражения, получаем равенство:

( , ) = ( , ) .

Полученная формула верна и в случае, когда область , ограниченная контуром , не является правильной относительно оси , но ее можно разбить на конечное число правильных областей прямыми, параллельными оси . Доказательство этого факта аналогично приведенному выше доказательству для случая 1.

Таким образом, для произвольной области , ограниченной контуром на плоскости, имеем формулы, связывающие криволинейный интеграл 2 рода по контуру с двойным интегралом по области :

( , ) =	( , )	и	( , ) = −	( , )	.
( , ) =	( , )	и	( , ) = −	( , )	.

2.5.2. Формула Грина

Выяснив связь между криволинейными интегралами 2 рода и двойными интегралами, докажем следующее утверждение.

Теорема 2.7.

Пусть область ограничена контуром . Пусть функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и непрерывны частные

производные

и

.

Тогда справедлива формула Грина:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

.

Доказательство.

Имеем формулы:

( , ) =

( , ) ,

( , ) = −

( , ) .

Складывая левые и правые части этих равенств, получим:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

.

Теорема доказана.

Пример 2.13.

Вычислить

2 + 2 двумя способами:

а) непосредственно, б) по формуле Грина,

если – контур, образованный

линиями = и = 2.

Решение.

Контур, состоящий из отрезка прямой = и

1

дуги параболы = 2, ограничивает область,

изображенную на рисунке 2.23. Линии

=

пересекаются в точках (0, 0) и (1, 1).

= 2

=

а)

= 1 2, где

1: {0 ≤ ≤ 1,

2: {0 ≤ ≤ 1.

1

2 + 2 =

∫ 2 + 2 + ∫ 2 + 2 =

1

2

= ∫1(4 + 2 ∙ 2 ) + ∫0(2 + 2) =

Рис. 2.23. К Примеру 2.13

0

1

= ∫1(4 + 23) + ∫0

22 = (

5

+

4

) |10

+

23

|10 =

1

+

1

−

2

=

1

.

5

2

0

1

5

2

3

30

Материал: Все лекции

Смотрите также: