Материал: Все лекции

36

В качестве области Ω возьмем сектор, приведенный на рисунке 1.33 с указанными там «габаритами»: 1, 2, и .

Рис. 1.33. Иллюстрация к Задаче о вычислении энергии электрического поля

Решение.

Введем систему координат так, как показано на рисунке 1.33: ось направим вдоль оси цилиндра, ось - вдоль одной из боковых граней сектора Ω и так, чтобы основание сектора лежало в плоскости ; ось направим перпендикулярно осям , и так, чтобы была правая система координат.

Тогда расстояние от произвольной точки ( , , ) до оси цилиндра (оси )

Для вычисления этого интеграла перейдем к цилиндрическим координатам:

=

0 ≤ ≤

где область Ω′ задается системой неравенств: {1 ≤ ≤ 2 - и представляет собой

0 ≤ ≤

прямоугольный параллелепипед в цилиндрической системе координат. Переходя к повторным интегралам, получим:

Глава 2. Криволинейные интегралы

В главе 1 были рассмотрены кратные интегралы. В этой главе мы остановимся на новых разновидностях интеграла: криволинейных интегралах 1 и 2 рода. Из самого названия следует, что эти интегралы рассматриваются вдоль «кривых линий».

Под «кривой линией» (или просто кривой, или просто линией) на плоскости или в пространстве подразумевается непрерывная спрямляемая кривая без самопересечений. Такие кривые будем называть простыми кривыми. Заметим, что как частный случай, кривая может быть и отрезком прямой линии.

Спрямляемость означает, что кривая имеет конечную длину (см. [4], . ). Если кривая – замкнутая, то она называется контуром.

Изучение криволинейных интегралов начнем с интегралов 1 рода.

2.1. Криволинейный интеграл 1 рода

Здесь, как и в случае кратных интегралов, сначала введем новое понятие и изучим его свойства, затем выведем формулу для вычисления и в заключение рассмотрим некоторые его приложения.

зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .

Определение 2.2.

Конечный предел интегральных сумм при λ → 0 называется криволинейным интегралом 1 рода (или криволинейным интегралом по длине дуги) от функции ( ) вдоль кривой .

2

Функция ( ), для которой существует криволинейный интеграл 1 рода, называется интегрируемой вдоль кривой .

Пример 2.1.

Физический смысл криволинейного интеграла 1 рода.

Если ( , , ) – линейная плотность массы, распределенной вдоль кривой , то

Замечание 2.1.

Из определения криволинейного интеграла 1 рода вытекает следующее свойство:

т.е. величина интеграла не зависит от направления, выбранного на кривой . Условия интегрируемости.

Сформулируем теоремы об условиях интегрируемости функции вдоль кривой. Доказательства этих утверждений аналогичны случаю кратных интегралов.

Теорема 2.1 (Необходимое условие интегрируемости).

Если функция ( ) интегрируема вдоль кривой, то она ограничена на этой кривой.

Замечание 2.2.

Обратное утверждение неверно: есть ограниченные, но не интегрируемые функции. Теорема 2.2 (Достаточное условие интегрируемости).

Пусть - гладкая кривая (см. [4], . ), а функция ( ) непрерывна на ней. Тогда эта функция интегрируема вдоль кривой .

2.1.2. Свойства криволинейного интеграла 1 рода 1. Нормированность.

Криволинейный интеграл 1 рода от единицы вдоль кривой равен длине кривой:

∫ 1∙ = | |.

2. Линейность.

Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы вдоль кривой . Тогда а) постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла 1 рода:

3

∫ ∙( ) = ∙∫ ( ) , = ;

б) криволинейный интеграл 1 рода от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов 1 рода от этих функций:

∫ ( ( ) + ( )) = ∫ ( ) + ∫ ( ) .

Свойство линейности можно записать в следующем виде:

3. Аддитивность.

Пусть функция ( ) интегрируема вдоль кривой . Если кривая разбита на две дуги, то криволинейный интеграл 1 рода по всей кривой равен сумме криволинейных интегралов 1 рода по каждой из этих дуг:

4. Интегрирование неравенств.

Пусть функции ( ), ( ) интегрируемы вдоль кривой и удовлетворяют неравенству: ( ) ≥ ( ) . Тогда справедливо неравенство:

в) |∫ ( ) | ≤ ∫ |( )|.

5. Оценки криволинейного интеграла 1 рода.

Если значения подынтегральной функции ( ) на кривой ограничены величинами и , то значение интеграла ограничено величинами ∙| | и ∙| |, где | | - длина кривой:

≤ ( ) ≤ ∙| | ≤ ∫ ( ) ≤ ∙| |

6. Теоремы о среднем значении.

Теорема 2.3.

Пусть функция ( ) интегрируема вдоль кривой и пусть

Замечание 2.3.

Доказательство всех этих свойств аналогично случаю кратных интегралов.

4

2.2. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

Покажем, как вычисление криволинейного интеграла 1 рода ∫ ( , , ) сводится к вычислению определенного интеграла.

2.2.1. Сведе́ние к определенному интегралу

( ( ), ( ), ( )).

По определению имеем:

Полученная формула показывает, что вычисление криволинейного интеграла 1 рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Однако эта формула имеет чисто теоретический интерес: при вычислениях она мало пригодна, так как задать конкретную кривую с помощью естественной параметризации удается крайне редко. Необходимо получить формулу для вычисления криволинейного интеграла 1 рода при произвольной параметризации кривой.