Материал: Все лекции

11

Если ( ) - поверхностная плотность массы, распределенной на поверхности ,

то = ( ) - масса этой неоднородной поверхности.

Если ( ) - поверхностная плотность заряда, распределенного на поверхности ,

то = ( ) - электрический заряд поверхности . Условия интегрируемости.

Теорема 3.4 (необходимое условие интегрируемости).

Если функция ( ) интегрируема по поверхности , то она ограничена на этой поверхности.

(Обратное утверждение неверно: есть ограниченные, но не интегрируемые функции). Теорема 3.5 (достаточное условие интегрируемости).

Пусть - гладкая поверхность, а функция ( ) непрерывна на поверхности . Тогда функция ( ) интегрируема по поверхности .

3.2.2. Свойства поверхностного интеграла 1 рода 1. Нормированность.

Поверхностный интеграл 1 рода от единицы по поверхности равен площади этой поверхности:

1 = ( ).

2. Линейность.

Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы по поверхности . Тогда справедливы следующие утверждения.

а) постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла 1 рода:

∙( ) = ∙ ( ) , = ;

б) поверхностный интеграл 1 рода от суммы функций равен сумме поверхностных интегралов 1 рода от этих функций:

( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) .

Свойство линейности можно записать в следующем виде:

3. Аддитивность.

Пусть функция ( ) интегрируема по поверхности . Тогда справедливо следующее утверждение.

Если поверхность разбита на две части, то поверхностный интеграл 1 рода по всей поверхности равен сумме поверхностных интегралов 1 рода по каждой из этих частей:

4. Интегрирование неравенств.

Пусть функции ( ), ( ) интегрируемы по поверхности и удовлетворяют неравенству: ( ) ≥ ( ) . Тогда справедливо неравенство:

( ) ≥ ( ) .

Следствие 3.1.

а) Если ( ) ≥ 0 , то ( ) ≥ 0.

12

б) Пусть ( ) ≥ 0 , тогда для любых поверхностей 1, 2 справедливо утверждение:

5. Оценки поверхностного интеграла 1 рода.

Если значения подынтегральной функции ( ) на поверхности ограничены величинами и , то значение интеграла ограничено величинами ∙( ) и ∙( ), где ( ) - площадь поверхности:

≤ ( ) ≤ ∙( ) ≤ ( ) ≤ ∙( ).

6. Теоремы о среднем значении. Теорема 3.6.

Пусть функция ( ) интегрируема по поверхности и пусть

Доказательство всех этих утверждений аналогично доказательству в случае кратных интегралов.

3.2.3. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода ( ) сводится к вычислению двойного интеграла. Покажем это.

Теорема 3.8.

Пусть - гладкая поверхность, заданная явным уравнением: = ( , ), область - ее проекция на плоскость и ( , , ) - непрерывная функция, заданная на поверхности . Тогда поверхностный интеграл 1 рода вычисляется по формуле:

( , , ) = ( , , ( , )) ∙ √1 + (′)2 + (′)2 .

Доказательство.

По определению поверхностного интеграла 1 рода имеем:

13

С другой стороны, по определению двойного интеграла имеем:

вдругом - в специальных (из теоремы о среднем) точках ̃′ ( ′ , ′ ), которые уже не

являются произвольными.

Однако можно показать (доказательство опускаем), что разность между этими интегральными суммами ввиду непрерывности подынтегральных функций стремится к нулю при λ → 0, а значит, одну сумму в пределе можно заменить другой суммой.

В результате получаем:

= ( , , ( , )) ∙ √1 + ( ′)2 + ( ′)2 .

Теорема доказана.

Применение этой формулы обычно сопровождается следующей записью:

= ( , ), ( , )( , , ) = [ = √1 + ( ′)2 + ( ′)2 ] =

= ( , , ( , ))∙√1 + ( ′)2 + ( ′)2 .

Замечание 3.5.

Если поверхность задается уравнением: = ( , ), то поверхностный интеграл 1 рода вычисляется по формуле:

14

( , , ) = ( , ( , ), ) ∙ √1 + (′)2 + (′)2 ,

где область - это проекция поверхности на координатную плоскость .

Если поверхность задается уравнением: = ( , ), то поверхностный интеграл 1 рода вычисляется по следующей формуле:

( , , ) = ( ( , ), , ) ∙ √1 + (′)2 + (′)2 ,

где область - это проекция поверхности на координатную плоскость . В общем случае можно записать:

( , , ) = ( , , ( , )) ∙ | | , или:

( , , ) = ( , ( , ), ) ∙ | | , или:

( , , ) = ( ( , ), , ) ∙ | | ,

где , , - проекции поверхности на координатные плоскости, соответственно, и , а - вектор нормали к поверхности в произвольной точке:

= ( , ) {−′ ; −′ ; 1}; = ( , ) {−′; 1; −′}; = ( , ) {1; −′ ; −′ }.

3.2.4. Приложения поверхностного интеграла 1 рода

Площадь поверхности : ( ) = 1.

Масса неоднородной поверхности : = ( , , ) , где ( , , ) – поверхностная плотность массы, распределенной на поверхности ;

Электрический заряд поверхности : = ( , , ) , где ( , , ) – поверхностная плотность заряда, распределенного на поверхности .

Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей

, и :

Моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей, , , относительно координатных осей , , и относительно точки - начала координат:

15