Документ: Все лекции, страницы 91-95 | Студенческое хранилище

26

Параболоид проектируется взаимно-однозначно на плоскость в круг с центром в начале координат и радиуса √2 (рис. 3.30). Внешняя нормаль 0 образует тупой угол с осью , поэтому в формуле перед двойным интегралом берем знак « − »:

{− ( , , (, )) ∙

′

− ( , , (, )) ∙

′

+ ( , , (, ))} .

( )∙ = −

Здесь имеем:

( , , ) = 0, ( , , ) = 2, ( , , ) = ;

( , ) = 2 + 2, ′

= 2,

′ = 2;

2

= − {−0 ∙ 2 − 2 ∙ 2 + 2 + 2} =

= 2 + 2

=

(23 − 2 − 2) =

0

√2

= ∙

O

= [ = ∙ ] =

√2

=

= ′

(23 3 − 2)∙ =

Рис. 3.30.

К Примеру 3.13

= ∫02 (∫0√2(24 3 − 3) ) =

= ∫ 2

∫ 2

(3 (

2

5

|√2) −

1

4

|√2) =

(

8√2

3 − 1) =

0

5

0

4

0

5

∫ 2 (1 − 2) ( ) − 2 =

=

8√2

∫ 2 3 − 2 = −

8√2

5

0

3) |2 − 2 = −

) |2

= −

8√

2

( −

1

8√2

(

2

−

2

− 2 = 0 − 2 = −2.

5

3

0

5

3

0

Ответ: = −2.

В конкретных примерах на вычисление поверхностных интегралов 2 рода можно применять оба метода: метод проектирования на все три координатные плоскости и метод проектирования на одну координатную плоскость.

В Примере 3.12 вычислен поверхностный интеграл 2 рода от вектор-функции

+

= 1

через поверхность : {

2

3

1

(рис. 3.27) методом

( ) = ∙ − ∙ + ∙

≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

проектирования на все три координатные плоскости. Так как поверхность взаимно-

однозначно проектируется на плоскость , то можно здесь применить и метод

проектирования на одну координатную плоскость. Покажем это.

=

{− ( , , (, )) ∙

′

− ( , , (, )) ∙

′

+ ( , , (, ))}

( )∙ =

Здесь имеем:

( , , ) = , ( , , ) = − , ( , , ) = ,

( , ) = 1 −

−

,

′

= −

1

,

′

= −

1

2

3

2

3

=

{ ∙

1

− ( , ) ∙

1

+ ( , )} =

{

1

−

1

(1 −

−

) + 1 −

−

} =

2

3

2

3

2

3

2

3

=

{

1

−

1

+

1

+

1

+ 1 −

1

−

1

} =

{

2

−

1

+

5

} ,

9

2

3 6

2

3

3 3

18

: {

0 ≤ ≤ 2

(рис. 3.28).

0 ≤ ≤ 3 (1 −

)

2

Вычисляя двойной интеграл через повторный интеграл, получим:

= ∫2	∫ 3(1−		)		2		1		5	) = ∫2		2		1	) \|3(1−		)		5	2\|3(1−		)) =
		2		(		−		+			((		−			2		+			2

							3		18					3					36
0	0			3						0	3				0					0

27

= ∫02 ((2 − ) (1 − 2) + 54 (1 − 2)2) = ∫02 (2 − 2 + 12 2 + 54 (1 − 2)2) =

= (2 − 2 + 16 3) |20 + 125 ∙(1 − 2)3∙(−2)|20 = 43 + 56 = 136 = 2 16.

Приходим к такому же результату, что и в Примере 3.12.

3.4.3.Приложения поверхностных интегралов 2 рода

1.Основным приложением поверхностных интегралов 2 рода является вычисление

потока вектора через заданную поверхность :

П =	(	)	(	)	∙ 0	(	)	.
П =		∙ =			∙ 0			.

В этих приложениях часто возникают задачи на вычисление потока через плоские области. Рассмотрим этот частный случай, когда поверхность является плоской областью.

Поток вектора через плоскую область.
Поток вектора через плоскую область.
Пусть поверхность – это область , лежащая
в плоскости (рис. 3.31):
				( )
	= 0	( , , )	O
	= 0		O
: {( , )		и ( ) = (( , , )).
		( , , )
В этом случае имеем:
В этом случае имеем:			Рис. 3.31.	Поток вектора
( , ) = 0, ′		= 0, ′ = 0,	Рис. 3.31.	Поток вектора
( , ) = 0, ′		= 0, ′ = 0,
			через плоскую область
а формула для вычисления поверхностного интеграла			через плоскую область
а формула для вычисления поверхностного интеграла
2 рода принимает вид:
П = ±	{− ( , , ( , )) ∙ ′ − ( , , ( , )) ∙ ′		+ ( , , ( , ))} =

= ± ( , , ( , )) = ± ( , , 0) .

Таким образом, в случае потока вектора через плоскую область имеем

формулу: П = ± ( , , 0) . Аналогичные формулы получаются в случае

расположения области в координатных плоскостях и :

П = ± ( , 0, ) и П = ± (0, , ) .

В этих формулах берется знак « + », если поток вычисляется в направлении, совпадающем с направлением соответствующей оси координат, и берется знак « − » в

противном случае.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача (о вычислении магнитного потока).
Рассматривается бесконечно длинный тонкий
прямой провод с током , который создает магнитное поле,
прямой провод с током , который создает магнитное поле,
характеризуемое в каждой точке пространства вектором
характеризуемое в каждой точке пространства вектором

магнитной индукции .


Вектор магнитной индукции
в произвольной точке выражается
	0
векторным произведением: =	2 ∙ 2∙( × ),	Рис. 3.32. К определению
		вектора магнитной индукции

28

где

- расстояние

- радиус-вектор точки ,

от точки до проводника (рис. 3.32), 0 - магнитная постоянная.

В одной плоскости с проводником расположена не пересекающая проводник

плоская рамка заданной формы.

Требуется найти величину (модуль) магнитного потока Ф сквозь данную рамку:

Ф =

(

)

∙ .

Решение.

Введем систему координат так,

чтобы проводник и рамка лежали в плоскости

O

(рис. 3.33), при этом ось направим

вдоль проводника.

Из определения магнитной индукции

( )

следует, что вектор

перпендикулярен

Рис. 3.33. Введение системы

плоскости , т.е. направлен по оси

декартовых координат

(в отрицательном направлении):

0

0∙

( )

= −| |∙ = −

2 ∙ 2∙| |∙| |∙ ∙ = −

2 ∙ 2∙ ∙ = −

2 ∙ ∙

0∙

( )

= − ∙ = − ∙ ,

где

=

2 = .

По условию задачи требуется найти величину (модуль) магнитного потока Ф,

поэтому направление вектора нормали 0( )

выберем так, чтобы поток был положителен,

т.е.

Тогда получим:

0( ) = − .

Ф

.

= ( )∙ =

( )∙ 0( ) =

Таким образом, магнитный поток сквозь рамку ,

расположенную в плоскости (рис. 3.34),

Рис. 3.34.

вычисляется по формуле:

Ф

=

0∙

∙

1

.

К вычислению

2

магнитного потока

Пример 3.14.

Найти магнитный поток сквозь плоскую рамку, имеющую форму прямоугольного

треугольника со сторонами, показанными на рисунке 3.35.

Решение.

Применим полученную выше формулу для вычисления магнитного потока: Ф = ∙ 1 ,

где = , а область задается неравенствами:

≤ ≤ + {0 ≤ ≤ ( + − ).

Вычисляя двойной интеграл с помощью повторного интеграла, получим:

Рис. 3.35. К Примеру 3.14

+

(+ − ) 1

+ 1

(+ − )

+

1

(

( + − ))

Ф = ∙∫

∫

= ∙∫

∫

= ∙∫

= =

0

∙∫ +

(

( + )

1

−

) = ∙(

( + ) ∙ | + − ) = ∙((1 +

) ∙ (1 +

) − 1)∙ .

29

Ответ: Ф =

0∙

∙((1 +

) ∙ (1 +

) − 1)∙ .

2

2. Одно из приложений поверхностных интегралов 2 рода связано с вычислением

объема тела Ω, ограниченного замкнутой поверхностью :

(Ω

)

= ;

)

;

(Ω = ;

(Ω =

(Ω

)

1

( + + )

= 3

(во всех случаях интеграл берется по внешней стороне замкнутой поверхности).

Пример 3.15.

Вычислить с помощью поверхностного интеграла 2 рода объем прямого кругового

конуса высотой и радиусом основания .
Решение.

Конус Ω высотой и радиусом основания задается неравенствами (рис. 3.36):

∙√2 + 2 ≤ ≤ .

Полная поверхность конуса состоит из основания 0и боковой поверхности бок:

= 0 бок.

Применим формулу для объема тела:

(Ω) = = 0 + бок .

Вычислим интеграл по основанию конуса:

0
	=	∙ √2 + 2
	=	∙ √2 + 2
	0

O

Рис. 3.36. К Примеру 3.15

0 = 0 = ∙ 0 = ∙(0) = ∙ 2 = 2 .

Вычислим интеграл по боковой поверхности конуса (рис. 3.36):

бок = − ∙√2 + 2 =

перед интегралом берем знак « − », так как вектор нормали 0 в каждой точке [образует тупой угол с осью ; − проекция бок на плоскость − круг радиуса ]

= ∙

=[ = ∙ ] = − ′ ∙ 2 = − ∫02 (∫0 2 ) = − ∙2 3 = − 2 2 .= 3 3

Складывая найденные величины, получим: (Ω) = 2 − 23 2 = 13 2 .

Ответ: конуса = 13 2 .

Глава 4. Элементы теории поля

Теория поля – раздел математики, физики и механики, в котором изучаются скалярные, векторные и иные поля. Полем называется любая область в пространстве или на плоскости, в которой задана некоторая (скалярная или векторная) величина.

Примеры скалярных полей: поле температуры воздуха, поле атмосферного давления, поле электрического потенциала и т.д. Примеры векторных полей: силовое поле, поле скоростей в потоке движения, поле электрического тока, магнитное поле и т.д.

Инструментом изучения таких полей служат кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, рассмотренные в предыдущих главах.

4.1. Скалярное поле

Определение 4.1.

Пусть в некоторой области (пространства или плоскости) задана функция = ( ), . Тогда пара ( ; ) или запись вида: { = ( ), } - называется

скалярным полем.

Область при этом может быть ограниченной или неограниченной областью, в частности может и совпадать со всем пространством 3 или плоскостью 2.

Если 3, то = ( , , ) – функция 3-х переменных. Если 2, то = ( , ) - функция 2-х переменных, и в этом случае имеем плоское скалярное поле.

4.1.1. Линии и поверхности уровня

Наглядным представлением скалярного поля служат такие его геометрические характеристики как линии и поверхности уровня.

Определение 4.2.

Поверхностью уровня скалярного поля { = ( ), 3} называется множество всех точек области , в которых значения функции постоянны и равны :

		= { : ( ) = },				= .

Например: изотермы – это поверхности одинаковых температур, изобары – это
поверхности одинаковых атмосферных давлений.
Поверхность уровня данного
							( , , ) =
скалярного поля при фиксированном							( , , ) =
скалярного поля при фиксированном
значении определяется уравнением
(рис. 4.1):
	( , , ) =			.
Придавая константе в этом
уравнении различные значения, получим
целое семейство поверхностей уровня:						O
целое семейство поверхностей уровня:
	{ ,	}.
	{ ,	}.
Заметим, что поверхности уровня,
соответствующие различным значениям ,						Рис. 4.1. Поверхность уровня
не пересекаются:							скалярного поля
	≠		∩		= .

Пример 4.1.
Описать поверхности уровня следующих скалярных полей:
а) = + + ;					б) = 2 + 2 + 2;		в) = 2 + 2 − 2.

Материал: Все лекции

Смотрите также: