Материал: Вредная геометрия
16
поскольку суммы равных равны.
–Еще один случай не учли, – заметил Мухин. – Если точка лежит внутри четырехугольника .
–Пожалуйста, – согласился как никогда покладистый Вася и набросал еще один чертеж (рис. 3).
–Теперь:
3) точка лежит внутри четырехугольника . Ход
Рис. 3. Точка лежит внутри треугольника
доказательства полностью повторяет предыдущий.
–Остался еще один случай. Точка лежит на одном из отрезков: или , – заметила Катя Кузина.
–Если точка пересечения перпендикуляров лежит на одном из этих отрезков... – Вася на минуту задумался.
–Прямые,
4) имеющие две общие точки, совпадают. Если точка лежит на или и отлична от основания соответствующего перпендикуляра, то перпендикуляр совпадет
ВАСИНЫ ТЕОРЕМЫ |
17 |
|
|
с отрезком, через середину которого он проведен. Это никуда не годится. Остается случай, когда точка совпада-
ет с основанием одного из перпендикуляров и прямые
и совпадают (рис. 4). Тогда равенство углов ̸
Рис. 4. Перпендикуляры совпадают
и ̸ следует из равенства треугольников и .
Пожалуй, мы рассмотрели все возможные случаи. По залу опять прошел ропот.
–Это все неверно, – хмуро заметил Гриша.
–Тогда где ошибка?
–Не знаю, но все, что ты тут доказал, противоречит тому, что мы видим.
–Или укажи ошибку, или помолчи, – решительно отрезал Вася и перешел к следующей теореме.
18
Т2. Все треугольники правильные
13 23 Достаточно доказать, что в любом треугольни-
ке любые две стороны равны. Возьмем произвольный треугольник (рис. 5) и докажем, что любые две его сто-
роны, например и , равны.
Доказательство: Проведем биссектрису ̸ . Если бис-
Рис. 5. Точка лежит внутри треугольника
сектриса перпендикулярна стороне , она одновременно является высотой. В этом случае треугольник равнобедренный и | |= | |. Если биссектриса не перпендикулярна , она будет пересекать перпендикуляр, проведенный к отрезку через его середину в некоторой
ВАСИНЫ ТЕОРЕМЫ |
19 |
|
|
точке .
1) Пусть точка лежит внутри треугольника
(см. рис. 5). Соединим точку с концами отрезка и
опустим из нее перпендикуляры и соответственно на стороны и . Рассмотрим треугольники
и . Поскольку точка, лежащая на биссектрисе, одинаково удалена от его сторон, отрезки и равны. Кроме того, треугольники имеют общую гипотенузу . Следовательно, прямоугольные треугольники и
равны по катету и гипотенузе. Отсюда | |= | |. Так как точка лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка , она одинаково удалена от его концов: | |= | |. Прямоугольные треугольники иравны по катету и гипотенузе. Значит, | |= | |.
| |= | |
| |= | |.
| |= | |
2) Теперь пусть точка лежит ниже стороны (рис. 6), но опущенные из нее перпендикуляры и снова лежат на сторонах и соответственно. Остается только повторить проделанные выше доказательства: доказать равенство треугольников и , затем и . Поскольку | |= | |+| | и | |= | |+| |, мы
20
Рис. 6. Точка лежит вне треугольника
снова придем к равенству | |= | |.
3) Рассмотрим последний случай, когда основания перпендикуляров и лежат на продолжениях сторон
и (рис. 7). Также доказываем равенство треугольни-
ков и , затем и . В общем все то же,
только теперь | |= | |−| | и | |= | |−| |.
Откуда неизбежно следует | |= | |. В силу произволь-
ности рассмотренного треугольника и его сторон, мы делаем вывод, что у любого треугольника любые две его стороны равны. Таким образом, все треугольники правильные.
Теорема доказана.
– Ты что, хочешь нам всю геометрию испортить! – воз-