Материал: Вредная геометрия

тельности больше всего копий ломается не вокруг вопросов: «как корабль назвать?» или «как он поплывет?». Гораздо важней: «кто будет капитаном?». И тут Грише снова повезло, его избрали президентом ША за инициативность и еще потому, что другие не хотели. Теперь Гриша отвечал за проведение всех математических и физических вечеров, оформление презентаций по естественно-научной тематике и тьму других мероприятий.

12

Васины теоремы

Тот, кто хорошо знает Васю, сейчас мне не поверит, однако его и вправду увлекла навязанная тема и он с головой окунулся в работу. Математикой Вася занимался только потому, что она ему нравилась. И тут уж было не до шуток. Он отобрал из своей большой, «накачанной» из Интернета библиотеки несколько подходящих книг и сел за чертежи, ловко орудуя циркулем, деревянными линейками и угольником. Все заметили, что даже на уроках Вася стал какой-то рассеянный. За работой незаметно пролетела неделя, и наконец настала пятница.

В белой рубашке и при галстуке Вася уверенно взобрался на сцену в просторном актовом зале. Центральную часть занимала специально заказанная для таких случаев большая переносная классная доска. Как и положено настоящему оратору, он внимательно осмотрел аудиторию. Первые ряды заполнил весь цвет школьной науки и... Лена Синичкина. Когда Вася громко объявил тему доклада – «Все равно!», по залу прокатился ропот. Похоже, тема вызвала у публики недоумение. Гриша почувствовал, что теряет контроль над ситуацией. Однако делать было нечего. Тем временем ничуть не смутившийся докладчик сформулировал первую теорему.

Т1. Все углы прямые

12 18 Поскольку любой острый угол является допол- нением до 180 некоторого тупого угла, то достаточно доказать, что любой тупой угол равен прямому. Для доказательства построим отрезок . От левого конца отрезка проведем луч под прямым углом, а от правого под тупым (рис. 1). На лучах отложим равные отрезки и

Рис. 1. Точка лежит ниже отрезка

соответственно. Докажем, что ̸ = ̸ . Соеди- ним точки и отрезком прямой. Проведем

14

перпендикуляры через середины отрезков и . Точку их пересечения обозначим .

1) Пусть точка лежит ниже прямой . Тогда

| |= | | по построению. | |= | |, поскольку точка лежит на перпендикуляре, проходящем через середину отрезка . | |= | |, поскольку точка лежит на перпендикуляре, проходящем через середину отрезка. Таким образом, треугольники и равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: ̸ = ̸ . Кроме то- го, имеет место равенство ̸ = ̸ для двух углов при основании равнобедренного треугольника . Вычитая из равных углов равные: ̸ = ̸ − ̸

и ̸ = ̸ −̸ , получим равные. Следователь- но, ̸ = ̸ , что и требовалось доказать. В силу произвольности тупого угла ̸ делаем вывод, что

любой тупой угол равен прямому. Поскольку любой острый угол является дополнением тупого до 180 , т. е. до

двух прямых углов, все острые углы также равны прямому. Теорема доказана.

–Постой, а если перпендикуляры пересекаются выше отрезка ? – вмешался отличник из 10-го «a» Лева Мухин.

–Этого не может быть, но, если желаете, рассмотрим и такой случай.

Вася набросал на доске новый чертеж (рис. 2):

– Итак,

Рис. 2. Точка лежит выше отрезка

2) точка лежит выше прямой . Треугольники

и снова равны по трем сторонам. ̸ = ̸

как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон. ̸ = ̸ как углы при основании равнобедренного треугольника . Тогда

̸ = ̸

̸ = ̸ ,

̸ = ̸