Материал: Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие

Тогда функция вида (31) допускает такую интерпретацию. Пусть фиксированному начальному моменту времени t = t0 отвечает неко- торая поверхность уровня

ϕ0(х, y, z) = ωt0.

С течением времени эта поверхность как бы перемещается в про- странстве, занимая последовательно положения с различными, уве- личивающимися значениями ϕi (x, y, z) = ω ti. Такую бегущую по- верхность уровня принято называть волновым фронтом. Если в на- чальный момент времени t = t0 на поверхности волнового фронта за- фиксировать некоторую точку с координатами x0, y0, z0, то при дви- жении фронта волны эта точка опишет некоторую кривую, называе- мую лучом. Радиус-вектор

r(t) = xi + yj + zk

текущей точки на луче является функцией времени, и нашей бли- жайшей целью будет составить дифференциальные уравнения для определения этой функции. Очевидно, что скорость точки на луче

v(t) = dr = dx i + dy j + dz k dt dt dt dt

должна во все время движения оставаться коллинеарной вектору градиента функции ϕ (х, y, z), вычисленного в данной точке. Это по- ложение можно воспринимать и как определение луча.

Положим g = grad ϕ.

Тогда

dr = λg, dt

или в координатной форме

Коэффициент пропорциональности λ (х, y, z) находится следую- щим образом. Из данных выше определений волнового фронта и лу- ча вытекает тождество

21

ϕ ( x(t), y(t), z(t)) = ωt,

дифференцируя обе части которого по времени, получим

∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dz = ω

.

∂x dt ∂y dt ∂z dt

Вносим сюда вместо компонент скорости их выражения из урав- нений луча (34). И, с учетом уравнения эйканала (32), найдем

Вводя в систему уравнения луча (34) в качестве переменной дли- ну дуги s, можно представить ее и в такой форме:

Системы уравнений луча (34) или (37) содержат в себе, вообще говоря, некую неопределенность в виде неизвестных функций

то, что она должна быть одним из решений уравнения эйканала (32). Но по значению только модуля градиента скалярное поле однозначно не восстанавливается. Однако систему уравнений луча возможно преобразовать и во вполне определенную систему, включающую только заданные функции.

22

Запишем следующие тождества:

или, заменяя здесь квадрат градиента его значением из уравнения эйканала (32),

Таким образом, вводя в рассмотрение три новые неизвестные функции времени

23

и прибавляя к системе из трех уравнений (34) еще три равенства (38), получим для определения хода луча систему из шести уравнений первого порядка, у которых правые части составлены из заданных функций. А именно

В качестве текущей лучевой координаты может быть выбран лю- бой удобный параметр. Система (39) приобретет еще более компакт- ную форму, если вместо времени t ввести лучевой параметр σ, опре- делив его дифференциал так:

dσ = c2 dt.

ω

При этом переменная σ имеет размерность площади ([σ] = м2). Теперь система (39) принимает вид

dx = l, dσ

dy = m, dσ

dz = n, dσ

24

Из этой системы, конечно, можно исключить три неизвестные функции l, m, n и получить систему из трех уравнений второго по- рядка:

Если возвратиться к первоначальному аргументу t, означающему время, то получится такая система трех уравнений второго порядка:

которую, очень удобно представить, в векторной форме:

25