Материал: 14

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

3 СЕМЕСТР

Практическое занятие 14

Преподаватель: Горшунова Татьяна Алексеевна – доцент кафедры ВМ-2

e-mail: gorshunova@mirea.ru

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Изолированные особые точки

Определение. Точка 0 называется изолированной особой точкой функции ( ), если ( ) аналитическая в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой точки 0, а в точке 0 функция не определена или не дифференцируема.

Рассмотрим точку 0 и разложим ( ) в ряд в окрестности точки 0, т.е. по степеням

( − 0).

Если точка 0 – правильная, т.е. ( ) аналитична в т. 0, то существует окрестность (круг радиуса ) | − 0| < , внутри которого ( ) аналитическая и функция раскладывается

Если точка 0 – изолированная особая точка (ИОТ), то ( ) аналитична в кольце 0 < | − 0| < и функция раскладывается в степенной ряд Лорана:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Определение. Точка 0 называется нулем -го порядка аналитической функции( ), если – порядок первой не равной нулю производной:

( 0) = 0, ′( 0) = 0, … , ( −1)( 0) = 0, ( )( 0) ≠ 0

Если = 1, то точка 0 называется простым нулем.

Теорема 1. Точка 0 является нулем -го порядка функции ( ), аналитической в точке 0, тогда и только тогда, когда имеет место равенство:

( ) = ( − 0) ( ), где ( ) аналитическая в точке 0 и ( 0) ≠ 0.

Связь между нулем и полюсом:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

является нулем порядка для функции ( ) ( 0 = Н( )) и нулем порядка для функции ( ) ( 0 = Н( )), то есть 0 = Н( ), то:

1)при > точка 0 является нулем функции ( ) порядка = − ,

2)при < точка 0 является полюсом функции ( ) порядка = − ,

3)при = точка 0 является устранимой особой точкой функции ( ).

Пример. Найти все особые точки функции ( ) и определить их тип: