Материал: 14
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
1. ( ) = −1
Решение. Особая точка 0 = 0. Она является нулем для числителя: ( − 1)| =0 = 0. Определим порядок нуля в числителе:
( − 1)′ = | =0 = 1 ≠ 0, следовательно, это нуль первого порядка. Для знаменателя 0 = 0 является нулем первого порядка, значит
0 = НН(1)(1) – устранимая особая точка
2. ( ) =
Решение.
sin
3+ 2− −1
( ) = |
|
|
sin |
= |
|
|
|
sin |
= |
|
sin |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
+ |
2 |
− − 1 |
|
2 |
( |
+ 1 |
) |
− ( + 1) |
( |
)2 |
( − 1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|||||||
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Особые точки: 1 = −1, 2 = 1.
Числитель ни в одной из этих точек не обращается в ноль.
Для знаменателя: 1 является нулем второго порядка. Точка 2 является нулем первого порядка.
Значит1 = НН(0)(2) = П(2) – полюс второго порядка, 2 = НН(0)(1) = П(1) – простой полюс.
1
3. ( ) = −2
Решение. Особая точка 0 = 2. Это существенно особая точка, так как ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. по степеням ( − 2) содержит
1 1
бесконечную главную часть: −2 = ∑∞=0 ( −2) !
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
4. ( ) = sin
Решение. Найдем особые точки: sin = 0, = , = 0, ±1, ±2, …
Для знаменателя они являются простыми нулями, т.к. (sin )′ = cos | = ≠ 0. Рассмотрим отдельно точку = 0, т.к. она обращает числитель в ноль и
является нулем первого порядка: = 0: НН(1)(1) = УОТ.
= , = ±1, ±2, …: НН((01)) = П(1) − простые полюсы.
Задачи для самостоятельного решения
Найти все особые точки функции ( ) и определить их тип:
1) |
( ) = |
1 |
2) ( ) = |
1−cos |
|
|
|||
1−sin |
2 |
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
|
|
|
|
7) |
|
( |
|
) |
= |
|
|
|||||||||
3) |
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( −1)2 |
+1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
4) |
( ) = |
|
|
|
|
8) |
( ) = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
cos −1 |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
= |
− |
|||||||||
5) |
( ) = 5+24+ 3 |
9) |
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) |
( ) = |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
− −1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычет функции в изолированной особой точке
Определение. Вычетом аналитической функции ( ) в изолированной особой точке 0 называется комплексное число, обозначаемое символом ( 0) и определяемое равенством:
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
1( 0) = 2 ( )
где – любой контур, лежащий в области аналитичности функции ( ), содержащий внутри себя единственную особую точку 0 функции ( ). Предполагается, что контур проходится в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.
Теорема 4. Вычетом аналитической функции ( ) в изолированной особой точке0 является коэффициент −1 при ( − 0)−1 в разложении ( ) в ряд Лорана в окрестности точки 0.
Формулы для вычисления вычетов функции ( ): 1. Если 0 – устранимая особая точка функции ( )
( 0) = 0
в ряде Лорана нет главной части, −1 = 0.