Материал: Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие

x = α(x′ + vt′), y = y′, z = z′,

Эти преобразования впервые были представлены голландским физиком Хенриком Лоренцем и носят его имя.

Отметим, что х-компонента объемной плотности тока и объемная плотность заряда преобразуются точно так же, как х-координата и время. Выражения

r2 − c2t2 = r′2 − c2t′2 , *

j2 − c2ρ2 = j′2 − c2ρ′2 .

образуют инварианты этих преобразований.

Формулы преобразования компонент электромагнитного поля мож- но представить следующим образом. Введем поперечные векторы

Ητ = H y j + Hz k, Eτ = Ey j + Ez k.

Тогда

Hτ = α ( Hτ′ + vε0 i × Eτ′ ), Eτ = α ( Eτ′ − vμ0 i × Hτ′ ).

Нетрудно убедиться, что эти преобразования имеют такие инва- рианты:

EH = E′H ′,

E2 − Z02 H 2 = E′2 − Z02 H ′2 ,

где

Z = μ0 = 120 π

0 ε0

называется волновым сопротивлением вакуума.

Следствием этих же преобразований является и такое соотношение:

________

* r обозначает радиус-вектор точки в трехмерном пространстве.

11

в котором Пх и П′х обозначают х-компоненты соответствующих век-

торов Пойнтинга:

П = E × H, П′ = E′ × H ′.

Принимая во внимание, что выражения ε0 E2 2 и μ0 H 2 2 пред-

ставляют собой плотности энергии соответственно электрического и магнитного полей, вышенаписанному соотношению можно пытаться придать некий физический смысл. Но этот вопрос, как нам представ- ляется, лучше пока оставить открытым.

12

3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ВЫВОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

Пусть дано некоторое двумерное пространство. Предположим, что оно однородно и изотропно. Это значит, что в нем можно ввести бесконечно много совершенно равноправных и ничем не отличимых друг от друга систем отсчета. При этом координаты произвольной точки пространства, измеряемые относительно двух любых из этих систем отсчета, связаны линейными преобразованиями. То есть если (х1, х2) – координаты какой-то точки в одной системе, а (х′1, х′2) – ко- ординаты этой же точки в другой, то

Постоянство коэффициентов в этих преобразованиях отражает однородность пространства. Свойство изотропности пространства характеризуется тем, что коэффициенты преобразований, обратных (15), должны отличаться от коэффициентов α, β, γ, δ лишь знаками у разноименных координат. Так как обратные преобразования осуще- ствляются по формулам

то должно быть

α = δ, = α2 − βγ = 1.

Еще одно соотношение, связывающее коэффициенты преобразо- ваний (15), можно вывести из следующего рассуждения.

Зафиксируем третью систему отсчета, относительно которой ко- ординаты той же точки пространства будем помечать двумя штриха- ми. Тогда

причем для штрихованных коэффициентов должны выполняться те же условия:

13

α′ = δ′, ′ = α′2 − β′γ′ = 1.

Внося (5.15) в (5.16), получим преобразования

Откуда, в силу равноправности всех систем отсчета, имеем

γβ′ = βγ′

или

β′ = β = λ. γ′ γ

Здесь λ следует признать универсальной постоянной для данного типа пространства.

Таким образом, преобразования (15) приобретают вид

причем коэффициенты α и γ связаны равенством

α2 − λγ 2 = 1.

Поэтому в формулах (17) лишь один коэффициент произволен. Он определяет взаимное расположение соответствующих систем отсчета.

Прямым вычислением легко убедиться, что выражение

s2 = x12 − λx22

не зависит от выбора системы отсчета, то есть является инвариантом преобразований (17).

В зависимости от знака, который имеет универсальная постоянная λ, нужно различить два типа пространств:

1. Если λ < 0 и координаты х1 и х2 имеют одинаковые размерности и равные масштабные единицы измерения, то следует положить λ = – 1, в результате чего мы приходим к привычному евклидовому простран- ству. В самом деле, ничто не препятствует задать коэффициенты α и γ так:

α= cosϕ, γ = − sin ϕ

иинтерпретировать преобразования (17) как поворот осей прямо- угольной системы координат на угол ϕ против часовой стрелки.

2.Если λ = с2 > 0, то мы имеем так называемое псевдоевклидово пространство (или, по другой терминологии, пространство Минков- ского), в котором принято считать х1 = х обычной пространственной

14

координатой, измеряемой в метрах, а х2 = t – временнóй координатой, измеряемой в секундах.

Вводя в преобразования (17) новый параметр v по формуле v = −c2 αγ ,

получим стандартную форму записи преобразований Лоренца. А именно

x′ = α(x − vt),

1 − v2 c2

Параметр v и универсальная постоянная с имеют размерность [м/с], т.е. – скорости. При этом очевидно, что параметр v представля- ет собой величину скорости движения пространственных осей Ох и О′х′ относительно друг друга. Для любых двух систем отсчета вели- чина этой скорости должна оставаться меньше с. Следовательно, универсальная постоянная с имеет смысл предельно большой скоро- сти. Придать ей какой-либо физический смысл приведенные здесь алгебраические выкладки, конечно, не могут. Однако, привлекая электродинамические рассуждения из предыдущего пункта, ее есте- ственно отождествить со скоростью распространения электромаг- нитных волн в вакууме.

15