Материал: Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
Кафедра математики
И.Е. Журавлева Н.Е. Цапенко
Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца
Учебное пособие
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
Москва 2015
УДК 517.926
Журавлева И.Е.
Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца : учебное пособие / И.Е. Журавлева, Н.Е Цапенко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2015. – 29 с.
Показана инвариантность полной системы уравнений Максвелла преоб- разованиям Лоренца. Получены электромагнитные инварианты преобразо- ваний. Приведён алгебраический вывод преобразований Лоренца как след- ствие однородности и изотропности пространства-времени. Дано решение начальной задачи на бегущие по длинной линии волны методом интеграла Фурье. В случае среды с переменной скоростью распространения рассмотре- но движение волнового фронта и выведено уравнение луча.
УДК 517.926
♥ И.Е. Журавлева, Н.Е Цапенко, 2015
2
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
Уравнения Максвелла .......................................................................... |
4 |
2. |
Инвариантность уравнений Максвелла.............................................. |
7 |
3. |
Алгебраический вывод преобразований Лоренца........................... |
13 |
4. |
Распространение волны по длинной линии ..................................... |
16 |
5. |
Волновой фронт и уравнение луча ................................................... |
20 |
6. |
Блуждающая волна в неоднородной среде ...................................... |
26 |
Библиографический список................................................................ |
28 |
|
3
1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Изучаемые в электродинамике электромагнитные явления описы- ваются определенного вида силовыми векторными полями. Векторы напряженностей этих полей связаны системой дифференциальных уравнений в частных производных Максвелла:
rot H = ∂D + j, |
(1) |
∂t |
|
rot E = − ∂B , |
(2) |
∂t |
|
div D = ρ. |
(3) |
Как следствие уравнения (2), |
|
div B = 0. |
(4) |
Как следствие уравнений (1), (3), плотность электрического заря- да ρ и вектор плотности тока проводимости j связаны соотношением
div j = − |
∂ρ , |
(5) |
|
∂t |
|
получившим название уравнения непрерывности.
Векторы электрической и магнитной индукций D и B выражаются через векторы напряженностей электрического и магнитного полей Е и Н посредством электромагнитных характеристик материальной среды:
D = ε a E, |
(6) |
B = μa H, |
(7) |
где εа и μа – в общем случае тензоры электрической и магнитной проницаемости.
Ток проводимости обычно разделяют на сумму собственно тока проводимости, связанного с напряженностью электрического поля по закону Ома, и так называемого стороннего тока от внешнего ис- точника, никак не зависящего от возбуждаемого им электромагнит- ного поля. Следовательно,
j = σE + jст ,
где σ – удельная объемная проводимость среды.
4
Равенства (2) и (4) позволяют представить индукцию магнитного поля в виде
Β = rot A, |
(8) |
а напряженность электрического поля – в виде
E = −gradϕ − |
∂A . |
(9) |
|
∂t |
|
Скалярное поле ϕ и векторное поле А называются соответственно скалярным и векторным потенциалами.
Для того чтобы записать уравнения для этих потенциалов, необ- ходимо привлечь материальные соотношения (6) и (7). Достаточно просто это проделать в случае однородной изотропной среды, т.е. когда проницаемость εа и μа суть постоянные скаляры. Действитель- но, внося представления (8) и (9) в уравнения (1) и (3), с учетом (6) и
(7) получим
|
∂ |
∂A |
|
|
|
rotrot A = −εaμa |
|
gradϕ + |
|
+ μa |
j, |
|
|||||
|
∂t |
∂t |
|
|
|
|
∂A |
|
ρ |
|
div gradϕ + |
|
= − |
|
. |
|
||||
|
∂t |
|
εa |
|
Или, принимая во внимание тождества
rotrot A = − A + graddiv A, * div gradϕ = ϕ,
можем записать
|
|
1 ∂2 A |
|
|
|
|
|
1 ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|||||||||
A − |
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
= grad div A + |
|
|
|
|
∂t |
|
− μa |
j, |
|||||
c |
2 |
|
|
2 |
|
c |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
∂2ϕ |
|
∂ |
|
1 ∂ϕ |
|
|
ρ |
|
|||||||||
Δϕ − |
|
|
|
|
|
∂t2 |
= − |
|
divA + |
|
|
|
|
|
|
− |
|
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
с |
2 |
|
∂t |
c2 ∂t |
|
|
εa |
|
|||||||||||
где c = |
1 |
|
εaμa |
имеет размерность скорости движения. |
|||
|
|
|
|
|
|||
________ |
|
|
|
|
|
||
* = |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
– оператор Лапласа. |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||
|
|
|
|
||||
(10)
(11)
5