Материал: Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие

4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ ПО ДЛИННОЙ ЛИНИИ

Для определенности рассмотрим процесс разряда конденсатора че- рез длинную линию на активное сопротивление нагрузки. Соответст- вующая электрическая схема изображена на рис. 1.

Рис. 1

Функции напряжения и тока в данной линии с распределенными параметрами определяются системой телеграфных уравнений

и условием, задающим напряжение на конденсаторе С0 в момент его подключения t = 0 к линии

Будем искать решение поставленной задачи в виде спектральных разложений Фурье:

16

где

∞

U (x,iω) = ∫ u(x,t)e−iωt dt,

0

∞

J (x,iω) = ∫ j(x,t)e−iωt dt.

0

Спектральные плотности производных по времени выражаются следующим образом:

= −u(x,o) + iωU (x,iω).

Аналогично

∞ ∂j e−iωt dt j(x,0) i J (x,i ).

∫0 ∂t = − + ω ω

Система телеграфных уравнений (18) в совокупности с начальны- ми условиями (20) для спектральных плотностей U(x, iω), J(x, iω) да- ет систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Из граничных условий (19) с учетом начального условия (21) по- лучаются граничные условия для спектральных плотностей:

где β = ω LC – коэффициент распространения; W = L – волновое

C

сопротивление линии.

Отношение амплитуд A2 принято называть коэффициентом от-

A1

ражения и обозначать буквой Г. Из второго условия (24) нетрудно вывести выражение

17

Подставляя (25) и (26) в первое из условий (24) и учитывая (27), найдем выражение для амплитуды А1:

Примем следующие обозначения: τ0 = WC0 – постоянная времени цепи; v = (LC)− 12 – скорость распространения волны в линии. Тогда

β = ω v . Подставляя спектральную плотность (25) с введенными

здесь обозначениями в первый из интегралов Фурье (22), получим функцию, описывающую распространение волн напряжения в длин- ной линии в виде

Говорят, что линия находится в режиме согласования, если сопро- тивление нагрузки R равно волновому сопротивлению W и, соответ- ственно, коэффициент отражения Г равен нулю. В этом случае инте- гральное представление (28) приобретает наиболее простую форму:

18

Видим, что фронт волны, располагающийся в сечении линии с ко- ординатой х′ = vt, перемещается вдоль линии от конденсатора к на-

грузке со скоростью v = (LC)− 12 . Разряд конденсатора в сечении х = 0 происходит точно по тому же закону, по которому происходил бы

разряд на чисто активное сопротивление величины R = W = (L C )12 ,

т.е. согласованная линия по отношению к заряженному конденсатору ведет себя как сосредоточенная резистивная нагрузка.

19

5. ВОЛНОВОЙ ФРОНТ И УРАВНЕНИЕ ЛУЧА

Рассмотрим пространственное волновое уравнение

рактеризующий неоднородную среду и имеющий смысл скорости распространения волн.

Представим решение волнового уравнения (30) в виде сложной функции W = W(f), где f = f (x, y, z, t), тогда

Если для функции f(x, y, z, t) потребовать выполнения условия

(grad f )2 − 1 ∂f 2 = 0 , c2 ∂t

то она предстает в виде суммы пространственной и временной час- тей, т.е.

При этом для пространственной части ϕ (х, y, z) получается ста-

известное под названием уравнения эйканала. Выбрав одно из воз- можных решений уравнения эйканала, представляющее собой некое скалярное поле, можно построить семейство его поверхностей уров- ня, т.е. набор поверхностей, задаваемых уравнением

20