Документ: Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие, страницы 26-29

Материал: Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие

Смотрите также:

6.БЛУЖДАЮЩАЯ ВОЛНА

ВНЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим одномерное волновое уравнение

∂2W −	1 ∂2W	= 0.	(41)

	c2 (x) ∂t2
∂x2

Покажем, как найти его частное решение при произвольной функции с(х). Положим

W = X (x) + T (t),

тогда

d 2 X	−	1	d 2T	= 0.
dx2		c2 (x)	dt2

Это необходимо приводит к соотношению

c2 (x)

d 2 X

=

d 2T

= λ = const,

dx2

dt2

из которого находим выражения для функций X(x) и T(t):

1

T = λ t2 .

X (x) = λ∫ ∫

dx dx,

2

с (x)

2

Отсюда

1

λ t2 .

W = λ∫

∫

dx dx +

(42)

2

с

(x)

2

В полученном решении можно выделить слагаемые, соответст- вующие волнам, бегущим в противоположных направлениях. Преоб-

1

∫

dx dx = ∫

∫

d ∫

dx dx =

2

с(x)

с

(x)

с(x)

1

c′(x)

=

dx dx +

dx dx dx.

∫

с(x) ∫ с(x)

∫

с2

(x)

∫ с(x)

∫

Заметим, что

26

1

∫

dx dx =

c(x) ∫ с(x)

2 ∫ с(x)

Поэтому

1

∫

dx dx =

∫

с2 (x)

1

2

c′(x)

=

+ ∫

∫

dx

∫

2

с(x)

с2 (x)

dx 2 .

		(43)
1
1	dx dx dx.
c(x)	dx dx dx.

Внося (43) в (42), приходим к представлению частного решения в виде

λ

2

1

2

c′(x)

1

W =

t

+ ∫

dx

+ λ∫

∫

dx dx dx,

2

с(x)

2

(x)

c(x)

с

или, с учетом тождества α2 + β2

=

1

(α − β)2 +

1

(α + β)2 ,

2

W = λ

1

2

+ λ

1

2

t

− ∫

dx

t +

∫

dx

+

с(x)

4

с(x)

4

(44)

1

+λ

c′(x)

dx dx dx.

∫

∫ c(x)

∫ с2

(x)

Таким образом, получено точное решение волнового уравнения с произвольным переменным параметром с(х). На основании этого ре- шения нельзя строить общее решение волнового уравнения и, соот- ветственно, нельзя удовлетворить наперед заданным граничным и начальным условиям, но волны, описываемые формулой (44), вполне могут существовать в неоднородной среде с переменной скоростью распространения с(х). Причем важно подчеркнуть, что эти волны распространяются, не затухая, и в связи с этим они получили весьма характерное название – блуждающие волны.

Заметим, что аналогичное решение может быть получено и для трехмерного случая.

27

Библиографический список

1.Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров / А. Анго. –

М.: Наука, 1965. – 778 с.

2.Баскаков, С.И. Основы электродинамики / С.И. Баскаков. – М.: Советское радио, 1973. – 248 с.

3.Бреховских, Л.М. Волны в слоистых средах / Л.М. Бреховских. –

М.: Наука, 1973. – 513 с.

4.Цапенко, Н.Е. Аналитические функции и интегральные преоб- разования / Н.Е. Цапенко. – М.: Физматлит, 2012. – 244 с.

28

Учебное издание

Журавлева Ирина Евгеньевна Цапенко Николай Евгеньевич

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Учебное пособие

Редактор И.Н. Машакина

Компьютерная верстка М.А. Шамарина

Подписано в печать 10.03.15 Электронная версия

Уч.-изд. л. 1,8

Формат 60 × 90 1/16

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (495) 638-45-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35

29

разуем интеграл