Материал: Погорелов В.И.-Прочность и устойчивость тонкостенных конструкций

4.2. Напряжения в днище и крышке днища

Расчетным случаем для днища и крышки его горловины является нагружение наседающей массой наполнителя в конце активного участка траектории, когда осевые перегрузки будут наибольшими.

Будем считать, что при нагружении днища (рис. 22) наполнитель ведет себя как жидкость, давление в которой вычисляется по барометрической формуле.

Рис. 22. Днище и крышка днища в конце активного участка

Для определения меридиональных напряжений составим уравнение равновесия части днища в проекции на ось симметрии головного отсека (рис. 23). Весом днища по сравнению с весом наполнителя пренебрегаем:

где p(x1 ) = γ0nx01x1 – давление в жидкости; G – вес жидкости в выделенной части днища.

Рис. 23. Схема нагружения выделенной части днища

54

Из (4.1) получаем следующее выражение для меридиональных напряжений:

Данное выражение справедливо для осесимметричного днища любой формы. Форма днища влияет на вес жидкости G в выделенной части. Рассмотрим для примера порядок вычисления напряжений в полусферическом днище. Так как G = γ0V , то в пер-

вую очередь необходимо определить объем выделенной части V. Объем шарового сегмента равен:

При ϕ = 0 второе слагаемое в квадратных скобках обращается в неопределенность типа 0/0, раскрывая которую по правилу Лопиталя, убеждаемся, что это слагаемое равно нулю и поэтому здесь

где h – полная высота столба сыпучего материала в головном отсеке.

55

Из уравнения Лапласа получаем выражение для определения тангенциальных напряжений:

где рр = fp(x1 )= fγ0nx01x1 ; x1 – расстояние от носка до рассматриваемого сечения в днище. Подставляя (4.4) в (4.6), получаем

При ϕ = 0 тангенциальные напряжения равны меридиональным и определяются по формуле (4.5). Напряжения в этой точке днища будут максимальными, и поэтому они используются для определения коэффициента запаса прочности днища η= σв maxσ1 ≥1 (σв – предел прочности).

Для формы днища, отличной от полусферической, возможно возникновение зон отрицательных напряжений, и поэтому оценку прочности днища необходимо вести по эквивалентным напряжениям, используя для определения их третью теорию прочности.

Крышка днища головного отсека (рис. 24) обычно представляет собой круглую пластинку, закрепленную по контуру и нагруженную внешним давлением рр = fγ0nx1h .

rк – радиус крышки, а δк – ее толщина.

Для крышек, имеющих центральное крепление или подкрепляющие ребра, выражения для максимальных напряжений приве-

дены в [6, 21].

56

5. ОТСЕКИ, НАГРУЖЕННЫЕ ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ

Для повышения несущей способности отсеков, нагруженных внешним давлением, их надувают внутренним давлением или подкрепляют силовым набором.

Простейший вид подкрепления – кольца-шпангоуты, делящие гладкую оболочку на участки меньшей длины, которые теряют устойчивость при бóльших критических давлениях, чем вся гладкая оболочка. Это хорошо видно из формулы П.Ф. Папковича, позволяющей определить критическое давление потери устойчивости гладкой оболочки средней длины:

в которой длина l стоит в знаменателе, поэтому уменьшение длины оболочки увеличивает pкр. Рассмотрим сначала проектировочный расчет шпангоутного отсека.

5.1. Шпангоутный отсек

Отсек представляет собой гладкую оболочку толщиной δ, подкрепленную изнутри шпангоутами площадью Fш, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга l. Отсек нагружен постоянным внешним давлением pp = fp (рис. 25), где f – коэффициент безопасности; p – внешнее давление.

Для определения проектных размеров отсека: толщины δ; расстояния между шпангоутами l; площади промежуточных шпангоутов Fш – имеются два условия работоспособности: общей и местной устойчивости отсека. В качестве третьего примем условие минимума массы отсека по расстоянию между шпангоутами.

Преобразуем сначала выражение для критического давления общей устойчивости отсека:

57

в котором B1 = Eδ – жесткость оболочки на растяжение в осевом направлении; D2 = D +(EJ ш l) – цилиндрическая жесткость в

тангенциальном направлении; Jш – момент инерции шпангоута. Обозначая суммарный момент инерции шпангоута с примы-

кающей к нему обшивкой

Критическое давление местной потери устойчивости участка оболочки между шпангоутами определяется по формуле (5.1). Приравнивая (5.1) и (5.4), находим связь между безразмерной жесткостью шпангоутов ξ и расстоянием между ними l:

где n = L/l – количество участков, на которые шпангоуты делят оболочку.

В [18] вместо (5.5) предлагается зависимость, лучше согласующаяся с экспериментальными данными:

которая и будет использоваться в дальнейшем.

Второе условие работоспособности можно использовать для определения толщины δ, однако здесь воспользуемся преобразованием, которое, наряду с решением поставленной задачи, позволит установить граничные значения нагрузки между гладким и шпангоутным отсеками. Обозначая δгл толщину гладкой оболочки без подкреплений длиной L и считая, что гладкая и подкрепленная оболочки равноустойчивы, приравниваем критические давления:

и получаем

58