Материал: Погорелов В.И.-Прочность и устойчивость тонкостенных конструкций

жении его импульсом давления. Параметры ударной волны можно определить с помощью соотношений, приведенных в [2, 10].

3.2. Напряжения в многослойном корпусе при ударной нагрузке

Рассмотрим многослойный корпус ракеты в виде конструкционной стенки, к которой крепятся несколько слоев теплозащитного материала. Слои изготовлены из изотропных и однородных упругих материалов с различными физико-механическими свойствами. При этом затвердевший клей между слоями может также рассматриваться в качестве одного из слоев композиции [16].

Ограничиваясь одномерной постановкой задачи, будем считать, что закон изменения давления в зависимости от времени известен и определяется в результате расчета взаимодействия ударной волны и корпуса ракеты. Для приведенной на рис. 19 схемы расположения слоев в композиции и физико-механических характеристик материалов, необходимых для проведения расчета, систему уравнений теории упругости необходимо записать в следующем виде:

Рис. 19. Многослойная стенка корпуса ракеты

44

где u – перемещение в направлении, перпендикулярном поверхности слоев; ρ – плотность материала; λ = μG(1+μ)(1− 2μ) –

константа Ляме; G = E2(1+μ) – модуль сдвига; σx ,εx – напря-

жение и относительная деформация в направлении, перпендикулярном поверхности пакета.

Перемещения и относительные деформации в направлении двух других осей равны нулю, а нормальные напряжения не равны, хотя и малы. Преобразовав (3.1), получим

где c2 = (λ + 2G)ρ – скорость распространения продольных волн

в конструкционном материале.

Уравнение типа (3.2) необходимо записать для каждого из слоев композиции, а скорость распространения продольных волн будет различной для каждого из них.

Запишем начальные и граничные условия, для решения системы уравнений вида (3.2).

1.При t = 0 среда находится в покое и поэтому для всех сло-

ев u = 0; ∂u∂t = 0 .

2.При x=0 (внутренняя поверхность) σx = 0 .

3.При х = δ (наружная поверхность) σx = −p(t) .

4.Напряжения в плоскостях раздела слоев и скорости движе-

Волновое уравнение (3.2) гиперболического типа, и его можно решать с помощью метода характеристик. Приведем его сначала к каноническому виду, воспользовавшись следующим пре-

образованием независимых переменных: ξ = ξ(x,t);η = η(x,t) . В новых переменных уравнение (3.2) запишется так:

45

откуда, ввиду гиперболичности исходного уравнения,

или

Записывая систему обыкновенных дифференциальных уравне-

гдеv = ∂u∂t – скорость движения частиц среды. Таким образом, уравнения характеристик имеют вид

dxdt = c ; dxdt = −c ,

а вдоль них выполняются следующие дифференциальные условия:

dσx −ρcdv = 0 , (ξ = const) ; dσx +ρcdv = 0 , (η = const) .

Используя выражение (3.6), получаем

σx = (α+β)2 , v = −(α−β)2ρc ,

где α и β – константы интегрирования.

Расчет начинается с построения сетки характеристик для каждого из слоев композиции в плоскости x, t с помощью (3.5). Точки пересечения линий ξ=const и η=const служат узловыми,

46

в которых определяются напряжения и скорости движения частиц среды.

Если в узле известны σx и v , то формулы позволяют определить константы α(η) и β(ξ) , постоянные вдоль линий ξ=const и η=const соответственно, сходящихся в этом узле. Далее по известным значениям α и β в двух узлах можно определить σx и v в соседнем узле и т.д. При этом, конечно, используются соответствующие начальные и граничные условия.

Расчеты показывают, что величина напряжения в слоях зависит от соотношения их толщин и физико-механических свойств материалов, из которых они изготовлены. Можно подобрать такие соотношения параметров слоев, при которых эти напряжения будут наименьшими.

Возникновение напряжений, превышающих допустимые, нежелательно из-за cнижения теплозащитной и несущей способности конструкции.

3.3. Температурные напряжения при тепловом ударе

Тепловым ударом называется быстро изменяющееся во времени внешнее воздействие, создающее значительные градиенты температуры по толщине конструкции и напряжения. Будем предполагать, что материал сохраняет свои упругие свойства [20].

При тепловом ударе в материале возникают нежелательные эффекты: растрескивание, раскалывание и крошение, отделение слоев многослойной конструкции.

Для составления математической модели воспользуемся следующими допущениями:

–тепловой поток q постоянный и действует в течение малого промежутка времени 0 < t ≤ td;

–все поступающее тепло аккумулируется в слое материала толщиной l;

–объемные источники тепла распределены в слое l по экспоненциальному закону:

p(x,t) = (q l)exp(− x l)[H (t) − H (t −td )],

0,t < 0 ;

где функция Хевисайда H (t) =

1,t ≥ 0

47

– до начала теплового воздействия температура конструкции равна нулю.

Уравнения термоупругости для одномерного деформированного состояния записывают в следующем виде:

ния и перемещение в направлении нормали к поверхности; ρ – плотность материала;

3)закон Гука:

εx = E1 [σx −μ(σy + σz )]+ αT (x),

0 = E1 [σy −μ(σx + σz )]+ αT (x), 0 = E1 [σz −μ(σy + σx )]+ αT (x),

где α,T – коэффициент линейного расширения и температура; E,

μ– модуль упругости и коэффициент Пуассона;

4)уравнение теплопроводности в случае объемных источников тепла:

или, если принять постоянным коэффициент теплопроводности,

Преобразуем сначала уравнение равновесия, выразив σx , через εx из физических уравнений:

σx −μσy −μσz = E(εx − αT );

−μσx + σy −μσz = −EαT ;

−μσx −μσy + σz = −EαT .

Вычисляем определитель системы уравнений

48