Материал: Погорелов В.И.-Прочность и устойчивость тонкостенных конструкций

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

−

(1 − 3η2 + 2η3 )cos ϕ

l(η− 2η2 + η3 )cos ϕ

(3η2 − 2η3 ) cos ϕ

l(η3 − η2 ) cos ϕ

(1 − η) sin ϕ

ηsin ϕ

[B]=

(6 −12η)

4 − 6η

(12η− 6)

2 − 6η

l 2

(6η− 6η2 )sin ϕ

(−1 + 4η−3η

)

sin ϕ

6(η2 − η) sin ϕ

(2η− 3η

)

sin ϕ

Матрица [В] зависит от безразмерной координаты η, измеряемой вдоль образующей элемента.

9.3. Аппроксимация напряжений в элементе

На наружной (знак плюс) и внутренней поверхностях оболочки нормальные напряжения равны:

σ =	N1	±	6M1	,	σ		=	N2	±	6M2	,
	δ		δ2					δ		δ2
1						2

в которых погонные усилия и моменты в изотропной оболочке равны:

N =	Eδ	(ε0	+με0 ) ,	N		=		Eδ	(ε0	+με0 ) ,
	1−μ2						1−μ2
1		1	2		2				2	1
M1 = −D(χ1 + μχ2 ) ,				M 2 = −D(χ2 +μχ1) ,

которые в матричном виде можно записать так:

								Eδ				μEδ							0							0




			N				1−μ2				1−μ2																			ε0



									Eδ					Eδ


				1		μ													0							0				1
	∑	=	N	2	=			1−μ2			1		−μ2																	ε0		(9.9)


																														2
			M1																			Eδ		3			μEδ		3	2
								0		0							−								−					χ	1



																			12(1				−μ2 )			12(1−μ2 )
			M 2																											χ
																															2



									0	0							−				μEδ3				−			Eδ3



																			12(1				−μ2 )			12(1−μ2 )



или, в сокращенной записи,
											∑				= [D]			ε		,											(9.10)
											∑				= [D]			ε		,											(9.10)
																144

где матрица упругих констант

			1		μ		0			0
			1		μ		0			0
		Eδ	μ		1		0			0
D	=		0	0			δ2		μδ2		.	(9.11)
							δ2		μδ2		.	(9.11)
		1 −μ2				−	12 −			12
		1 −μ2				−	12 −			12
			0		0	−	μδ2	−		δ2
			0		0	−	12	−		12
							12			12

Подставляя в (9.11) матричное выражение деформаций (9.8), получим ∑ = [D][B] d .

Таким образом, перемещения, деформации и внутренние усилия в элементе с помощью (9.5), (9.8), (9.9) могут быть выражены через узловые перемещения и углы поворота. Для определения узловых значений перемещений и углов поворота воспользуемся условиями равновесия тела, записанными в виде условия минимума его потенциальной энергии.

9.4. Потенциальная энергия конструкции

Потенциальная энергия конструкции, составленной из оболочек, равна:

∏= 12 ∫(ε10 N1 + ε02 N2 + χ1M1 + χ2M 2 )dS − ∫(τu + pw)dS ,

S S

где S – полная поверхность оболочек; p, τ – давление и трение, действующие на оболочки, или, в матричном виде:

Π =

∫

dS − ∫

dS ,

где

С учетом (9.10)

Π =

∫

Т [D]

dS − ∫

dS .

2 S

Так как аппроксимируются перемещения внутри одного элемента, то потенциальную энергию конструкции представим в виде суммы потенциальных энергий N элементов, на которые она разбита:

145

Π =

∑ ∫

Т [D]

dS − ∑ ∫

dS .

N Se

Выразим потенциальную энергию одного элемента через его узловые перемещения и углы поворота, имея в виду, что

T =

T [B]T ;

=[B]

;

= [D]

= [D][B]

;

Тогда

= [N ]

;

Т =

Т [N]T .

Πe

∫

T [B]T [D][B]

dS − ∫

T [N ]T

или

T ∫[B]T [D][B]dS

T ∫ [N ]T

Πe =

−

dS .

(9.12)

Введем матрицу жесткости ke и матрицу внешних усилий r

элемента в локальной системе координат, связанной с элементом:

[ke ]= ∫[B]T [D][B]dS , se

r = ∫[N]T q dS .

Тогда (9.12) можно записать так:

Πe =

T [ke]

−

(9.13)

Наряду с локальными системами координат, связанными с элементами, введем единую глобальную систему координат, в которой и будем определять неизвестные перемещения на узловых окружностях. Ось x направим по оси симметрии конструкции, а ось y – перпендикулярно ей. Перемещения и углы пово-

рота на узловой окружности в глобальных координатах обозначим с верхним индексом ноль. Они связаны с локальными перемещениями u и w (рис. 64):

u = u0 cos ϕ+ w0 cosϕ , w = −u0 sin ϕ+ w0 cos ϕ ,

146

Рис. 64. Локальные и глобальные перемещения

Или, в матричном виде:
	u			cosϕ		sin ϕ	0		u0


	w		=	−sin ϕ		cosϕ	0		w0		.
	β			0		0	1		β
Обозначая					cos ϕ	sin ϕ		0
		[Λ]=

					−sin ϕ cosϕ			0		,
					0	0		1

запишем в матричном виде связь между узловыми перемещениями в глобальной и локальной системами координат:

= [Τ]

d 0

(9.14)

где

d 0

u0w0β u0w0β

, а [Τ]=

Подставим (9.14) в выражение для потенциальной энергии

элемента (9.13):

Πe =

d 0

[T ]T [ke ][T ]

d 0

−

d 0

T [T ]T

(9.15)

147

Обозначая матрицу жесткости элемента в глобальной системе координат [k]=[T ]T [ke ][T ] , а также матрицу усилий элемента

r 0 =[T ]T r , составим условие равновесия всей конструкции.

9.5. Условие равновесия конструкции

На основе принципа минимума потенциальной энергии тело находится в равновесии, если обеспечивается минимум его потенциальной энергии.

Просуммировав (9.15) по всем элементам , получим

∏ = ∑Πe =					1	D	T [K]			D	−		D		T	R	,	(9.16)
∏ = ∑Πe =					1	D	T [K]			D	−		D		T	R	,	(9.16)
	N				2
где
			u	0						t		0
			u	0						t		0
			1							1
			w0							n0
				1								1
			β							m0
				1
			u	0								.
			1
	D	=	.			;		R	=			.		,
	D	=	.			;		R	=			.		,
			.									.
			.									.
			.									.
			uN0 +1							tN0 +1
			wN0 +1							nN0 +1
			βN +1							mN0 +1

а ti0 ,ni0 ,mi0 – погонные силы и моменты, приложенные в узле i,

являющиеся эквивалентами внешней поверхности нагрузки. Заметим, что в данном случае количество узловых окружностей на единицу больше числа элементов N .

Функционал ∏(u10 ... βN +1) имеет минимум, если его первая вариация равна нулю, т.е.

δ∏=	∂∏	0		∂∏	0		∂∏
		δu1	+		δw1	+ ... +		δβN +1	= 0 ,
	∂u0	δu1	+	∂w0	δw1	+ ... +	∂βN +1	δβN +1	= 0 ,
	1			1

148

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
-Контрольные вопросы к лабораторкам 13-15