Материал: Погорелов В.И.-Прочность и устойчивость тонкостенных конструкций

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 61. Напряжения на наружной поверхности у нормального шпангоута

8.10. Напряжения в обечайке у нормального шпангоута

Жесткость шпангоута значительно больше жесткости оболочки, поэтому здесь возникают изгибные напряжения, которые накладываются на безмоментные. Предполагая, что шпангоут абсолютно жесткий, найдем суммарные напряжения, которые возникают в цилиндрической обечайке бака в зоне краевого эффекта.

Для определения краевой перерезывающей силы Q0 и момента M0 (рис. 61) запишем следующие условия совместности перемещений и углов поворота цилиндра и шпангоута в плоскости их стыка:

+WM

+WQ

= 0 ;

(8.32)

ϑp

+ϑM

+ϑQ

= 0 ;

(8.33)

( р

−

μN1

) ; N

рp R

+T ; W

= −

;

4α4 D

2α3D

= −

; ϑ

= 0 , ϑ

;

M 0

2α2D

2α2 D

αD

Из

уравнения

(8.33)

получаем

Q0 = −2αM 0 . Преобразуем

выражение для Wp, подставив в него D, α , N1:

Wр =

ррR2

(1−

−

μT

) .

Eδ

ррR

Тогда условие совместности перемещений (8.32) принимает вид

ррR2	(1−	μ	−	μT	) + M 0	(−	1	) = 0	,
Eδ		2		ррR			2α2 D

откуда

139

M 0

= −

ррR2

(1−

−

μT

)2α2 D .

Eδ

ррR

После преобразований получим

Q0 =

рр

(1−

−

μT

) ;

M 0 = −

рр

−

μT

) .

ррR

2α2

ррR

Используя выражения для напряжений

σ =

6M1

± μ

6M1

δ2

погонных усилий

N1 = ( ррR)

2 +T , N2 = (Eδ R)W +μN1 и пе-

ремещений

W =W

+W , где

= −

pp R2

(1− μ −

μT

)ϕ(αx) ,

Eδ

pp R

получаем следующие окончательные выражения для определения суммарных напряжений:

p p R

2 3

μT

σ1 =

2δ

1−μ2

(1−

− p p R )ψ(αx)],

p p R

μT

μ 3

μT

σ2 =

[1−(1

− 2

− p p R )ϕ(αx)

1−μ2 (1

−

− p p R )ψ(αx)] .

В записанных формулах верхний знак соответствует наружной поверхности цилиндра, а нижний – внутренней. На рис. 61 приведен характер эпюры напряжений σ1 и σ2 на наружной по-

верхности цилиндра, который получается в рассматриваемом случае. Наибольшую опасность с точки зрения прочности представляет точка цилиндра, в которой α x = 0 , где возникают наибольшие сжимающие напряжения.

9.МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

ВМКЭ оболочечная конструкция осесимметричной формы разбивается на конечные элементы, соединенные между собой по узловым окружностям. Простейшим конечным элементом является усеченный конус, с помощью которого можно аппроксимировать любую сколь угодно сложную конфигурацию ветвящихся оболочек (рис. 62). Точки на меридиональном сечении обо-

140

Рис. 63. Узловые перемещения элемента

лочки соответствуют узловым окружностям, по которым стыкуются элементы. Угол наклона образующей элемента к оси симметрии может изменяться от 0 до 360°. Рассмотрим последовательные этапы формулировки задачи по методу конечных элементов.

Рис. 62. Разбиение конструкции на конические элементы

9.1. Аппроксимация перемещений в элементе

Рассмотрим конический элемент с заданными на узловых окружностях меридиональным ui , нормальным wi перемещениями

и угле поворота βi (рис. 63). Тогда перемещения и угол внутри

элемента можно аппроксимировать какими-нибудь простейшими функциями. Проще всего это сделать с помощью полиномов, порядок которых определяется требованиями к непрерывности производных от перемещений, которые используются при записи выражения для потенциальной энергии элемента. В рассматриваемом варианте конечного

элемента воспользуемся следующими полиномами:

u = a1 +a2s , w = a3 +a4s +a5s2 +a6s3 , β= dwds =a4 +2a5s +3a6s2 .(9.1)

Количество коэффициентов ai в точности соответствует ко-

личеству перемещений и углов в узлах элементов. Выразим через них коэффициенты. При s = 0

141

u1 = a1;

w1 = a3;

β1 = a4.

(9.2)

При s = l

u2 = a1 + a2l; w2 = a3 + a4l + a5l 2 + a6l3 ; β2 = a4 + 2a5l +3a6l 2 .(9.3)

Решая систему линейных алгебраических уравнений (9.2) и (9.3), получаем

a1 = u1;a2 = 1l (u2 −u1);a3 = w1;a4 = β1;

[3(w − w ) − 2β l −β

l]; a

[lβ

− 2(w − w ) +β l].

l 2

Подставляя полученные выражения для коэффициентов в

(9.1), получаем

u = u2η+ (1−η)u1

;

(9.4)

w = w1N1(η) +β1lN2 (η) + w2 N3 (η) +β2lN4 (η) ,

где

η = sl ; N1(η)=1−3η2 + 2η3 ; N2 (η)= η− 2η2 + η3; N3 (η)= 3η2 − 2η2 ; N4 (η)= −2η2 + η3 .

Полиномы N1, N2 , N3, N4 называются полиномами Эрмита, а

в теории МКЭ – функциями формы. В матричном виде выражения (9.4) можно переписать так:

																	u1
																	w1
	f	=	u	=	1−η		0		0	η		0		0			β1		,			(9.5)




			w			0		N1	lN2		0	N3	lN4				u2



																	w2
																	β2
где столбец узловых перемещений элемента															d	=		u w β u w β						T
где столбец узловых перемещений элемента															d	=		u w β u w β						T
																		1	1	1	2	2	2	.
																		1	1	1	2	2	2	.

9.2. Аппроксимация деформаций

Геометрические уравнения теории тонких оболочек для конической оболочки имеют вид [24]:

ε10 = du0 ds ; ε02 = (u0 sin ϕ+ w0 cosϕ)r ;

142

	d 2w					sin ϕ dw
χ = −	0	;	χ	2	= −		0	,

1	ds2					r	ds

где индексом «ноль» обозначены величины, относящиеся к срединной поверхности. Подставляя в них выражения (9.4), получаем

ε10 = dduη ddsη = 1l (u2 −u1),

ε02 = 1r {[ηu2 +(1−η)u1]sinϕ+[w1N1 +β1lN2 +w2 N3

χ = −

+β l

+ w

l 2

dη2

2 dη2

= − sin ϕ w

dN1

+β l

dN2

+ w

dN3

dη

где соответствующие производные равны:

+β2lN4 ]cosϕ}, (9.6)

+β2l d 2 N4 ,

dη2

+β2l dN1 , dη

dN1

= −6η+ 6η2 ;

d 2 N1

= −6 +12η;

dη

dη2

dN2

=1− 4η+3η2 ;

d 2 N2

= −4 + 6η;

dη

dη2

(9.7)

dN3

d 2 N3

= 6η−6η2 ;

= 6 −12η;

dη

dη2

dN4

= −4η+3η2 ;

d 2 N4

= −4 + 6η.

dη

dη2

Вводя в столбец деформаций

ε0ε0χ χ

, а также столбец

узловых перемещений элемента

u w β u w β

геометри-

ческие уравнения (9.6) с учетом (9.7) можно переписать в матричном виде:

	ε		= [B]		d		,	(9.8)

где прямоугольная матрица

143

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
-Контрольные вопросы к лабораторкам 13-15