Материал: Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

установившегося режима до коммутации, определение начальных условий,

составление и решение характеристического уравнения, определение принуж-

денных и свободных составляющих и расчет входящих в конечные уравнения постоянных из начальных условий.

Детальный расчет апериодического, колебательного и граничного режи-

мов применительно к электрической цепи с источником постоянного напряже-

ния будет приведен в п. 2.3.1, 2.3.2 и 2.3.3.

2.3.1. Апериодический режим в цепи с источником постоянного напряжения

Условие задачи: определить токи во всех ветвях схемы, приведен-

ной на рис. 22, и напряжение на емкости после замыкания ключа.

Исходные параметры: U = 140 В; R1 = 20 Ом; R = 15 Ом; L = 0,025 Гн;

С = 20 мкФ.

1. Установившийся режим до коммутации. Имеет место установив-

шийся режим постоянных токов (рис. 23).

40

При t = 0–

2. Дифференциальные уравнения описывают токи и напряжения с мо-

мента времени t = 0+, при этом R1 закорочено (рис. 24). i1

3. Принужденные составляющие находятся для установившегося режи-

ма, наступающего после переходного процесса (рис. 25).

4. Определение корней характеристического уравнения. Входное комплексное сопротивление схемы для послекоммутационного состояния (см.

рис. 24)

j C

41

Заменяя далее j на р и приравнивая полученный результат к нулю, по-

лучаем

корни которого р1 = – 785 с–1 ; р2 = – 2549 с–1 , следовательно, имеет место апе-

риодический переходный режим.

5. Определение постоянных. В результате расчета получены следующие

выражения для вычисления неизвестных:

Для определения постоянных А1 – А8 требуется предварительно вычис-

лить значения функций i1(0+), i2(0+), i3(0+), uC(0+) и производных i1(0+), i2(0+), i3(0+), uC (0+). Для этого необходимо обратиться к системе (137) и записать ее для t = 0+:

42

Для вычисления i2 0 и i3 0 продифференцируем первое и третье уравнения системы (137), запишем их при t = 0+ и подставим известные ве-

личины:

3200 i 0 i 0 0;

2 3

Ri2 0 0 0,

откуда

Затем выражения (143) и их производные записываются для момента времени t = 0+:

uC 0 uC пр 0 uC св 0 0 785 A7 2549 A8.

После подстановки начальных условий (145), (146), (148) и (149) в левые части уравнений (150) – (153) получаем

43

4 9,33 А1 А2;

3200 785 А1 2549 А2,

откуда А1 = – 5,89; А2 = 0,558; i1 = 9,33 – 5,89 e–785t + 0,558 e–2549t ;

4 9,33 А3 А4;

0 785А3 2549А4,

тогда А3 = – 7,71; А4 = 2,37; i2 = 9,33 – 7,71 e–785t + 2,37 e–2549t;

0 А5 А6;

3200 785 А5 2549 А6,

следовательно А5 = 1,82; А6 = – 1,82; i3 = 1,82 e–785t – 1,82 e–2549t ;

60 140 А7 А8;

0 785 А7 2549 А8,

откуда А7 = – 115,6; А8 = 35,6; uС = 140 – 115,6 e–785t + 35,6 e–2549t.

Построенная в соответствии с расчетом зависимость i1(t) приведена на рис. 26.

i1пр

A

A2ep2t

i

A1ep1t

t

Рис. 26. Зависимость тока i1 от времени при апериодическом режиме

2.3.2. Колебательный режим в цепи с источником постоянного напряжения

Условие задачи: определить токи во всех ветвях схемы на рис. 22, и

напряжение на емкости после замыкания ключа.

44