Материал: Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

i1 i1пр i1св 13,06sin 1000t 16,5 A1 e 1200t;

i2 i2 пр i2 св 7,24sin 1000t 50,2 A2 e 1200t;

(119)

i3 i3пр i3св 8,1sin 1000t 13,2 A3 e 1200t;

uС uС пр uС св 72,4sin 1000t 39,8 A4 e 1200 t.

Как и в предыдущих примерах, для расчета постоянных А1, А2, А3, А4 тре-

буется сначала вычислить начальные значения i1(0+), i2(0+), i3(0+) и uC(0+). Для этого необходимо решить систему алгебраических уравнений

 

 

i1 0 i2 0 i3 0 0;

 

 

 

 

 

 

0

R2i2 0 uС 0 е 0 ;

 

 

 

R1i1

(120)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2i2 0 uС 0 R3i3 0 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

i2 0 С uС

 

 

 

записанную на основе уравнений (109) для t 0 .

 

 

Подставляя численные значения параметров, с учетом равенства

 

 

 

 

 

uC 0 uC 0 70,7В

 

(121)

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1 0 i2 0 i3 0 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5i1 0 5i2 0 70,7;

 

(122)

 

 

 

 

5i2 0 10i3 0 70,7.

 

 

Решение уравнений (122) дает такие результаты:

 

 

i1 0 = 5,65 А;

i2 0 = 8,48 А;

i3 0 = –2,83 А.

(123)

Затем выражения (119) записываются для момента времени t 0 :

 

 

i

0 i

0 i

 

0 13,06sin16,5

A ;

 

 

 

 

 

1

1 пр

 

 

1 св

 

 

 

1

 

 

i

0 i

 

0 i

 

 

0 7,24sin50,2

A ;

 

 

2

2 пр

 

2 св

 

 

2

(124)

 

i3 0 i3 пр 0 i3 св 0 81sin,

13,2 A3;

 

 

 

uС 0 uС пр

0 uС св 0 72,4sin 39,8 A4.

 

35

После подстановки начальных условий (121), (123) в левые части уравне-

ний (124) получаем:

5,65 3,71 A1;

8,48 5,55 А2;

2,83 1,84 А3;

70,7 46,4 A4,

откуда А1 = 1,94; А2 = 2,93; А3 = –0,99; А4 = –24,3.

Окончательное решение задачи имеет вид:

i1 13,06sin 1000t 16,5 1,94e 1200 t; i2 7,24sin 1000t 50,2 2,93e 1200t; i3 8,1sin 1000t 13,2 0,99e 1200t; uС 72,4sin 1000t 39,8 24,3e 1200t.

В качестве иллюстрации на рис. 20 приведена построенная в соот-

ветствии с расчетом зависимость uС(t).

Сопоставление приведенных примеров расчета переходных процессов в простейших цепях (для случаев постоянного и синусоидального напряжения)

показывает, что общий алгоритм расчета в обоих случаях одинаков, т. е. содер-

жит одни и те же этапы. Разница лишь в расчетах установившихся режимов,

имеющих место до коммутации и после переходного процесса, в силу различия методов расчета цепей постоянного и синусоидального токов.

В

uC пр

uC св

uC

uC

мс

t

Рис. 20. Зависимость uC от времени в переходном режиме

36

2.3.Переходные процессы в электрических цепях

сдвумя реактивными элементами

Электрическая цепь в данном случае имеет два накопителя энергии элек-

тромагнитного поля. Если это индуктивность и емкость, то они могут располагаться в любой ветви электрической цепи. Однородные элементы, т. е. или ин-

дуктивности, или емкости, должны находиться в разных ветвях схемы. Например, две последовательно соединенные индуктивности (емкости) при расчете переходных процессов могут быть объединены в один накопитель энергии, поскольку на порядок дифференциальных уравнений они влияют как один общий реактивный элемент.

Каждая физическая величина (ток, напряжение) в таких цепях описывает-

ся дифференциальным уравнением второго порядка, которому соответствует характеристическое уравнение второй степени. Данное уравнение имеет два корня, которые могут встречаться в следующих сочетаниях:

два действительных отрицательных неравных корня;

пара сопряженных комплексных корней с отрицательными действитель-

ными частями;

действительные отрицательные равные (кратные) корни.

Каждому из указанных сочетаний соответствует определенный режим перехода схемы из одного установившегося состояния в другое. Например,

схеме, представленной на рис. 21, соответствует характеристическое уравнение второй степени:

R1

 

R3

LCp

2

R1R2

 

R1R3

 

R2R3

C

 

 

p

 

R1

 

R2

 

0.

(125)

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 21. Пример схемы с двумя реактивными элементами

37

При значениях параметров схемы R1= 1 Ом; R2 = 2 Ом; R3= 2 Ом;

L = 1 мГн; С = 10 мкФ уравнение (125) принимает вид: 3 10–8 р2 +1,08 10–3 р +3 = 0

или

р2 +3,6 104 р +108 = 0.

Его корни: р1 = – 3030 с–1; р2 = –32970 с–1.

В данном случае имеет место так называемый апериодический режим переходного процесса. Свободная составляющая любой физической величины

(ток, напряжение) при этом представляется в форме:

х

А ер1t

А ер2t

А е 3030 t

А е 32970 t ,

(126)

св

1

2

1

2

 

где А1 и А2 – постоянные коэффициенты, количество которых соответствует числу корней характеристического уравнения.

Общее решение, как и прежде, формируется в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

х х

пр

х

х

пр

А е 3030 t

А е 32970 t .

(127)

 

св

 

1

2

 

При R1 = 100 Ом; R2 = 1 Ом; R3 = 1 Ом; L = 10 мГн; С = 10 мкФ на основе выражения (125) получаем характеристическое уравнение

1,01 10–5 р2 +0,012р + 101 = 0

или

р2 +1189,1р +107 = 0

с комплексными корнями

р1 j св 595 j 3106; р2 j св 595 j 3106,

где = 595 с–1 – коэффициент затухания;

св = 3106 рад/с – угловая частота свободных колебаний.

Частота свободных колебаний св в отличие от частоты вынужденных ко-

лебаний (угловой частоты напряжения источника) определяется внутренними свойствами электрической цепи или системы.

В этом случае имеет место колебательный режим, для которого свобод-

ные составляющие записываются в виде:

38

хсв А1ер1t А2ер2t А1е 595 j 3106 t А2е 595 j 3106 t

(128)

Ae t sin свt Ae 595t sin 3106t ,

где в качестве неизвестных выступают постоянная А и начальная фаза .

Полное решение для искомой физической величины представляется в форме

х х

х

х

А е 595 t

sin 3106 t .

 

(129)

пр

св

пр

 

 

 

 

Наконец, если R1

= 10

Ом;

R2 = 10

Ом; R3 = 10

Ом;

L = 1 мГн;

С = 10 мкФ, то из уравнения (125) получаем характеристическое уравнение

2 10–7 р2 +4 10–3 р + 20 = 0

или

р2 +2 104 р +108 = 0,

корни которого равны друг другу (кратные корни):

р 104

;

р

2

104.

1

 

 

 

В этом случае имеет место граничный режим, т. е. режим, промежуточ-

ный между апериодическим и колебательным.

Свободные составляющие для этого режима имеют такую структуру:

х

А

А t е t

А

А t е 10000t ,

(130)

св

1

2

1

2

 

а полное решение представляется в виде:

х х

х

х

А

А t е 10000 t .

(131)

пр

св

пр

1

2

 

Свободные составляющие во всех случаях затухают, так как рассматри-

ваемые электрические цепи содержат в своем составе сопротивления и, следо-

вательно, имеет место процесс рассеяния или потерь электрической энергии в этих цепях. Выражением данного обстоятельства являются отрицательные

действительные корни, или отрицательные действительные части комплекс-

ных корней характеристических уравнений.

Общая методика расчета переходных процессов при наличии двух нако-

пителей энергии подобна уже рассмотренной для разветвленных цепей с одним реактивным элементом (п. 2.2.6 и 2.2.7). Общий алгоритм расчета переходных процессов классическим методом содержит те же основные этапы, т. е. расчет

39

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
:Конвергентный подход к проектированию дополнительных общеобразовательных общеразвивающих программ