Материал: Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

2.2.6. Расчет переходного процесса в разветвленной цепи с индуктивностью при воздействии постоянной ЭДС

Условие задачи: определить токи i1, i2, i3 и напряжение на индук-

тивности после замыкания ключа в схеме, представленной на рис. 14.

Исходные параметры: R1 = 10 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 10 Ом; Е = 100 В;

L = 0,1 Гн.

Расчет переходного процесса складывается из отдельных этапов, которые являются типичными при использовании классического метода для электри-

ческих цепей любой топологии и сложности.

1. Установившийся режим до коммутации. Имеет место установив-

шийся режим постоянных токов (рис. 15). При этом ветвь с током i3 разомкну-

та, поэтому I3 = 0 и схема содержит только один контур. Для определения зна-

чений токов и других представляющих интерес величин на данном этапе при-

меняется один из известных способов расчета цепей постоянного тока. Чаще

всего для этой цели используются законы Кирхгофа.

b

Рис. 15. Схема для расчета Рис. 14. Расчетная схема установившегося режима

до коммутации В рассматриваемом случае по второму закону Кирхгофа

25

откуда

По полученным значениям далее записываем:

i1 0 I1 5A;

(82)

i2 0 I2 5A.

2. Дифференциальные уравнения описывают токи и напряжения с мо-

мента t 0 и чаще всего записываются по законам Кирхгофа:

Решение этой системы для каждой неизвестной, как и ранее, представ-

ляется в форме:

i1 i1пр i1св;

i2 i2 пр i2 св;

(84)

i3 i3пр i3св;

uL uL пр uL св,

где i1пр, i2 пр ,i3пр, uL пр – принужденные составляющие;

i1св, i2 св, i3св, uL св – свободные составляющие.

3. Принужденные составляющие определяются из рассмотрения уста-

новившегося режима, наступающего после переходного процесса (рис. 16).

По законам Кирхгофа записывается система алгебраических уравнений:

26

или

i1пр i2 пр i3пр 0;

10i1пр 10i2 пр 100; (86)

10i2 пр 10i3пр 0.

b

Рис. 16. Схема для расчета установившегося режима после коммутации

Решение системы (86) дает такие результаты:

Принужденная составляющая напряжения на индуктивности определяет-

ся согласно выражению:

так как i2пр= const.

4. Свободные составляющие. Сначала необходимо получить характерис-

тическое уравнение и найти его корни. Для этого существует несколько путей:

а) непосредственное преобразование системы дифференциальных урав-

нений (83) к уравнению относительно одной неизвестной;

б) через определитель коэффициентов системы (83);

в) по входному сопротивлению схемы.

27

Наиболее удобными являются два последних способа, поэтому остано-

вимся только на них.

Получение характеристического уравнения через определитель сис-

темы дифференциальных уравнений. Вводя замену р ddt, переписываем систему (83) в виде:

По левой части уравнений (88) составляем определитель коэффициентов

Приравнивая последний к нулю, получаем характеристическое уравнение

p 150c 1.

Получение характеристического уравнения через входное сопротив-

ление. Здесь используется аналогия с комплексным сопротивлением.

Входное комплексное сопротивление схемы (см. рис. 14) для послеком-

мутационного состояния

Заменяя j на р и приравнивая полученный результат к нулю, получаем:

28

Легко убедиться в том, что преобразование соотношения (93) приводит к характеристическому уравнению (90).

Так как характеристическое уравнение имеет единственный корень, то свободные составляющие записываются в следующей форме:

5. Определение постоянных. В результате расчета мы получили сле-

дующие выражения для неизвестных:

i1 i1 пр i1 св 6,67 A1 e 150 t;

i2 i2 пр i2 св 3,33 A2 e 150 t;

(95)

i3 i3 пр i3 св 3,33 A3 e 150 t;

uL uL пр uL св A4 e 150 t.

Чтобы определить неизвестные постоянные А1, А2, А3, А4, необходимо сначала вычислить начальные значения i1 0 , i2 0 , i3 0 и uL 0 . Пос-

ледние определяются как решение системы алгебраических уравнений, полу-

чаемых из системы дифференциальных уравнений (83), записываемой при t 0 в виде:

По первому правилу коммутации i2 0 i2 0 5. Перенося это зна-

чение в правую часть уравнений (96), получаем систему

i1 0 i3 0 5;

с тремя неизвестными i1 0 , i3 0 и uL 0 в левой части. Решение систе-

мы (97) дает такие результаты:

29