Материал: Переходные процессы в ЛЭЦ 2014
После коммутации для рассматриваемой схемы можно записать уравне-
ние по второму закону Кирхгофа:
Ri uC E,
где i C duC , dt
или
RC duC uC E.
dt
Характеристическое уравнение имеет вид:
RCp 1 0,
и, соответственно, корень уравнения
p 1 .
RC
(23)
(24)
(25)
(26)
Напряжение на емкости uC состоит из суммы принужденной и свободной составляющих:
uC uC пр uC св. |
(27) |
Свободная составляющая
u |
B еpt . |
(28) |
C cв |
|
|
Принужденная составляющая (напряжение на емкости в установившемся режиме после коммутации)
uC пр E. |
(29) |
||
Решение для uC : |
|
||
|
1 |
t |
|
|
(30) |
||
u E Bе RC . |
|||
C |
|
||
Постоянная В определяется из уравнения (27) при t = 0+: |
|
||
uC 0 uC пр 0 uC св 0 E B. |
(31) |
||
Величина uC (0 ) определяется на основании второго правила коммутации:
15
uC 0 uC 0 0.
Следовательно,
0 E B,
откуда
B E
и напряжение на емкости
1 t
uC E E e RC
Ток в цепи
i C |
du |
C |
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
RC |
|||
1 t
E 1 e RC |
. |
|
|
|
|
1 t E 1 t
E e RC e RC .
R
Графики функций uC(t) и i(t) представлены на рис. 7.
uC |
|
|
|
|
|
i |
|
|
E |
|
uC пр |
|
|
Е |
i(0+) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
uC 0 |
|
|
uC =uC пр+uC св |
|
i(0–) |
i |
||
|
|
|
|
|
||||
0 |
u |
|
0 |
t |
0 |
|
||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
uC св
–Е
а б
Рис. 7. Зависимость напряжения (а) и тока (б) от времени
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
t
2.2.3.Короткое замыкание ветви R, L
Вмомент t = 0 в цепи (рис. 8) происходит коммутация, в результате которой образуется контур для тока i, не содержащий источника.
16
В установившемся режиме до коммутации
i i 0 |
E |
, |
(37) |
|
R0 R
так как индуктивность на постоянном токе представляет собой участок с нуле-
вым напряжением.
R0 |
i |
R |
L |
|
|
|
|
E |
|
|
|
Рис. 8. Схема закорачивания R, L ветви После коммутации для правого контура
ur uL 0, |
(38) |
||||
или |
|
||||
Ri L |
di |
0. |
(39) |
||
|
|
||||
|
dt |
|
|||
Характеристическое уравнение имеет вид: |
|
||||
R pL 0, |
(40) |
||||
и, соответственно, корень уравнения |
|
||||
p |
R |
. |
|
||
|
|
||||
|
|
L |
|
||
Переходный ток i состоит из суммы принужденного и свободного токов: |
|||||
i iпр iсв. |
(41) |
||||
Свободная составляющая |
|
||||
i Аеpt . |
(42) |
||||
св |
|
||||
Принужденная составляющая (ток нового установившегося режима)
iпр 0, |
(43) |
17
поэтому в данном случае
Rt
i iсв Ае L .
Постоянная А определяется из соотношения (44) при t = 0+:
i 0 0 A.
Величина i(0+) определяется по первому правилу коммутации:
i 0 i 0 E .
R0 R
Следовательно,
A E
R0 R
и ток в индуктивности
|
E |
|
R |
t |
|
|
|
||||
i |
|
e L . |
|||
R0 R |
|||||
|
|
|
|
||
Напряжение на индуктивности
|
di |
|
E |
|
R |
|
R |
t |
R |
|
R |
t |
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
uL L |
|
L |
|
|
|
|
|
e |
|
L E |
|
e |
|
L . |
||
dt |
|
|
|
|
||||||||||||
|
R0 |
R |
|
L |
|
|
|
R0 R |
|
|
|
|||||
Графики функций iL(t) и uL(t) представлены на рис. 9.
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
|
iL |
|
|
uL |
|
||
|
|
|
|
0 |
t |
||
|
E |
|
|
||||
|
|
|
|
|
uL |
||
|
R0 R |
i |
E |
R |
|
||
|
|
|
R0 R |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
t |
|
||||
|
|
|
а |
|
|
|
б |
Рис.9.Зависимостьтока (а) инапряжения наиндуктивности(б) от времени
18
Ток i и напряжение uL на рис. 9 наглядно иллюстрируют процесс рассея-
ния энергии магнитного поля, накопленной к моменту t = 0 в индуктивности.
По мере того как энергия магнитного поля постепенно рассеивается в сопро-
тивлении R, ток в контуре приближается к нулю.
2.2.4.Включение цепи R, L на синусоидальное напряжение
Вмомент времени t = 0 цепь, состоящая из сопротивления R и индуктив-
ности L (рис. 10), включается на синусоидальное напряжение u Um sin t .
i |
R |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u
Рис. 10. Расчетная схема
Начальная фаза напряжения в такого рода задачах соответствует мо-
менту коммутации t = 0.
Уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид:
|
uR uL u, |
(50) |
|||
или |
|
||||
Ri L |
di |
Um sin t . |
(51) |
||
|
|||||
|
dt |
|
|||
Характеристическое уравнение имеет вид: |
|
||||
|
R pL 0, |
(52) |
|||
и, соответственно, корень |
|
||||
|
|
p |
R |
|
(53) |
|
|
L |
|||
|
|
|
|
||
Переходный ток в цепи состоит из суммы принужденного и свободного токов:
i iпр iсв. |
(54) |
19