Материал: Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

ВВЕДЕНИЕ

Переходные процессы сопровождают переход электрической цепи или системы из одного установившегося состояния в другое и возникают при лю-

бых изменениях параметров электрических цепей. Мгновенные изменения па-

раметров называют коммутациями. Наиболее распространенными коммута-

циями являются включение или выключение электрических цепей в целом или отдельных их участков.

Переходные процессы в исключительном большинстве случаев длятся какое-то время. Объясняется это тем, что любая электрическая цепь запасает энергию электромагнитного поля. При этом энергия магнитного поля сосредо-

точивается в индуктивностях, а электрического – в емкостях. Электромагнит-

ная энергия не может быть изменена мгновенно, т. е. нельзя ее мгновенно нако-

пить или, наоборот, израсходовать. Это обстоятельство и определяет длитель-

ность протекания во времени любых переходных процессов. В зависимости от количества активных и реактивных элементов, а также от структуры электриче-

ской цепи изменение тока и напряжения в переходных процессах может быть достаточно сложным.

В реальных условиях переходные процессы могут сопровождаться воз-

никновением электрической дуги. В основном это случаи размыкания электри-

ческих ветвей с индуктивностью, накапливающей энергию магнитного поля.

Такие случаи при изучении основ математического исследования переходных процессов в линейных электрических цепях не рассматриваются. Поэтому при изучении методов расчета переходных процессов будут отсутствовать такие коммутации, например, как размыкание ветвей с индуктивностями. К коммута-

циям, используемым во всех приведенных примерах и задачах, применимо до-

пущение об отсутствии электрической дуги.

Настоящее учебное пособие состоит из четырех разделов.

В первом разделе дается обоснование невозможности скачкообразного изменения тока в индуктивности и напряжения на емкости при коммутациях,

вводится понятие «начальные условия», рассматривается математический ап-

парат, используемый при расчете переходных процессов.

Во втором разделе излагаются основы так называемого классического ме-

тода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях с сосре-

5

доточенными параметрами [1, 2, 4, 5, 8]. Математической базой этого метода является решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-

тами во временной области. Классический метод применим только для цепей с источниками периодических напряжений и токов. Постоянные и синусоидаль-

ные напряжения и токи можно рассматривать как частные случаи периоди-

ческих.

Третий раздел посвящен операторному методу расчета переходных процессов, базирующемуся на использовании преобразования Лапласа [3, 4, 6 – 8]. Здесь конечный результат достигается с переходом в область ком-

плексного переменного.

Во втором и третьем разделах изложение теоретического материала ил-

люстрируется соответствующими числовыми примерами.

В четвертом разделе приведены задания на выполнение лабораторных,

индивидуальных заданий и для самостоятельной проработки материала. Сту-

денты очной формы обучения решают индивидуальные задачи 1 и 2, а для под-

готовки к контрольной работе – задачу 3. Студенты заочной формы обучения решают задачу 4.

При подготовке настоящего учебного пособия использовались учебно-

методические разработки доктора технических наук, профессора В. Н. Зажирко.

6

1. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ И ПРАВИЛА (ЗАКОНЫ) КОММУТАЦИИ

Значения напряжения, тока или других физических величин в момент на-

чала переходного процесса называют их начальными значениями. Если момент коммутации совмещен с моментом времени t = 0, то используются обозначения i(0), u(0), например: iL(0) – начальное значение тока в индуктивности, а uC(0),

соответственно, – напряжения на емкости.

В зависимости от конкретных условий напряжение и ток в момент ком-

мутации могут изменяться непрерывно или скачком. Например, в схеме на рис. 1, а при замыкании контура ток изменяется мгновенно (рис. 1, б), так как индуктивность и емкость отсутствуют, а следовательно, отсутствует и процесс накопления энергии электромагнитного поля. В момент коммутации, т. е. при t = 0, ток имеет два значения – нулевое и равное Е/R. Чтобы отличать эти зна-

чения, вводятся понятия

lim i 0 t i 0 ;

t 0

(1)

lim i 0 t i 0 ,

t 0

т. е. пределы слева и справа по отношению к моменту t = 0, и, соответственно,

обозначения i(0–) и i(0+) – значения тока непосредственно до и после коммутации.

Вслучае схемы, представленной на рис. 1, а,

i0 0;

i 0 E. (2)

R

i i

Рис. 1. Схема (а) подключения активной нагрузки к постоянной ЭДС и зависимость (б) тока от времени

7

Тем самым обозначается, что функция тока i(t) в момент коммутации t = 0

имеет разрыв, или, другими словами, ток в этот момент времени изменяется мгновенно, или скачком.

Обратимся к другому примеру. Схема на рис. 2, а содержит два элемента – R и L, т. е. сопротивление и индуктивность. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, и для нее справедливо соотношение:

В реальной жизни бесконечные значения uL не имеют места, следова-

тельно, производная тока didt также не может быть бесконечной. Это означает,

что функция индуктивного тока не может иметь разрывов, т. е. она непрерывна.

Отсюда делается вывод о том, что в момент коммутации ток в индуктивности изменяться скачком не может, что и отражено на рис. 2, б.

а б

Рис. 2. Схема (а) подключения ветви R, L к постоянной ЭДС и зависимость (б) тока i и напряжения uL от времени

которое отражает первое правило, или первый закон коммутации, определяю-

щий непрерывность тока в индуктивности.

Аналогичные рассуждения можно провести и для схемы на рис. 3, а.

Примерный характер процессов, возникающих в данной схеме при включении,

показан на рис. 3, б.

8

Емкостный ток в рассматриваемом случае описывается выражением:

Так как бесконечные значения тока невозможны, то производная duC dt

всегда конечна. Следовательно, функция uC (t) непрерывна и разрывов не име-

ет, что справедливо и для моментов коммутации. На этой основе появляется второе правило (закон) коммутации:

согласно которому напряжение на емкости в моменты коммутации не мо-

жет изменяться мгновенно, или скачком.

Рис. 3. Схема (а) подключения ветви R, C к постоянной ЭДС и зависимость (б) тока i и напряжения uC от времени

Непрерывность тока в индуктивности и напряжения на емкости непо-

средственно связана с положением о невозможности мгновенного изменения энергии магнитного и электрического полей. В пользу этого говорят известные формулы для определения энергии магнитного поля в индуктивности и энергии электрического поля в емкости:

WЭ 1СuC2 . 2

9