Материал: Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

uL	L	di	. . LpI p Li 0+	(224)

		dt

и ток в емкости

i	C	duC	. . I	C	p CpU	C	p Cu	0+ ,	(225)

C		dt					C

где I(p), IC(p) и UC(p) – соответственно изображения тока в индуктивности, ем-

кости и напряжения на емкости.

Из выражения (225) можно получить изображение напряжения на ем-

кости UC (p):

UC p	1	IC p	uC 0	.	(226)
	Cp
			p

Преобразование Лапласа является линейным, поэтому оно характеризует-

ся следующими свойствами.

1. Сумме оригиналов соответствует сумма изображений:

fk t . . Fk p .

(227)

2.Произведению оригинала на постоянный множитель соответствует ум-

ножение изображения на тот же множитель:

А f t . .АF p .

(228)

Перечисленных особенностей достаточно для преобразования дифферен-

циальных уравнений электрических цепей и получения изображений представ-

ляющих интерес физических величин.

Иллюстрацией прямого преобразования является следующий пример.

Схема на рис. 33 в момент коммутации подключается к источнику посто-

янной ЭДС. Поскольку до замыкания ключа ток и напряжение на элементах схемы отсутствовали, начальные условия нулевые:

i 0	i 0 0;	(229)
uC 0	uC 0 0,	(230)

и, например, для тока можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа: 60

Ldi Ri		1	i dt E.	(231)
dt		C
i	R		L	C
i
E
Рис. 33. Расчетная схема

На основе выражений (215) – (217), (224) и (226) – (228) с учетом нулевых начальных условий (229), (230) записываются соответствия

		i . .		I p ;				(232)
		Е		.	E
				.		;		(233)
					p

L		di	. . LpI p ;					(234)

		dt
	Ri . . RI p ;							(235)
1	i dt			. .	1		I p	(236)
C					Cp

и формируется алгебраическое уравнение для изображений

LpI p	+ RI p +	1	I p =	E	,	(237)
		Cp
				p

решение которого записывается в виде:

I p		CE
			.	(238)
	LCp2
		RCp 1

В итоге получили изображение I(p) тока i.

При расчете переходных процессов в разветвленных цепях изображения определяются в результате решения систем уравнений, аналогичных (237).

Обратное преобразование. Из приведенного примера видно, что изо-

бражение (238) имеет структуру так называемой рациональной дроби, пред-

ставляющей собой отношение двух полиномов параметра р. В изображе-

нии (238) полином (многочлен) числителя имеет нулевую степень. В общем случае степень полинома числителя не равна нулю, поэтому для представляю-

щей интерес переменной можно записать:

X p	M p	a pm	a pm 1	... a
		0	1	m	.	(239)
	N p	b0 pn b1pn 1
				... bn

Переход от изображения Х(р) к функции времени (оригиналу) x(t), т. е.

обратное преобразование, чаще всего осуществляется с помощью так называе-

мых формул разложения. Для случая простых (некратных) корней знаменателя изображения формула разложения имеет вид:

n	M p	k
x t		k	epkt	,	(240)
x t	N pk		epkt	,	(240)
k 1	N pk

где pk – корень знаменателя (уравнения b0 pn b1pn 1 ... bn= 0);

N pk значение производной знаменателя, получаемое на основании со-

отношения

N			d		n	b1p	n 1		(241)
N		p dp b0 p				b1p		... bn	(241)

при подстановке значения корня р = pk.

Количество составляющих в формуле (240) равно числу корней знамена-

теля изображения n.

Применительно к изображению (238) процедура обратного преобразова-

ния выглядит следующим образом.

Изображение тока

I p	M p		CE
				,	(242)
		LCp2	RCp 1
	N p

где M p CE;

N p LCp2 RCp 1.

Корни уравнения LCp2 RCp 1 0:

;

4L2

;

(243)

4L2

Производная знаменателя

N p 2LCp RC.

(244)

Оригинал по соотношению (240) имеет вид:

M p

x t

epkt

ep1t

ep2t

k 1 N pk

N p2

(245)

ep1t

ep2t.

2Lp1 R

2Lp2 R

В случае кратных корней формула разложения имеет более сложную структуру:

x t

S 1

M p

p pS S

ept

(246)

S 1 !dpS 1

N p

p p

где pS значение корня знаменателя изображения (уравнения N p 0);

S количество кратных корней, или кратность корня pS .

Пример применения формулы (246) приведен ниже.

Расчет переходных процессов в сложных электрических цепях характери-

зуется высокой степенью полиномов знаменателей N p , поэтому вероятны сочетания простых и кратных корней. В этих случаях применяются комбиниро-

ванные формулы, состоящие из двух частей: формулы (240) для простых кор-

ней и (246) для кратных.

3.2. Особенности применения операторного метода

Условие задачи: в схеме на рис. 22 определить закон изменения то-

ка i1(t) в переходном процессе.

Переходные процессы в схеме, изображенной на рис. 22, описываются системой дифференциальных уравнений (137):

i1 i2 i3 0;
	di
L	1	Ri				U;

	dt		2				(247)
Ri			u			0;
	2			C
				duC
i	C				.

3				dt

На основании формул (217), (224) и (226) – (228) записываются соответ-

ствия оригиналов и изображений:

;

(248)

. . I

p ;

i2 . .

p ;

i3 . . I

p ;

(249)

u . .

p ;

(250)

Ri2 . .

RI2 p ;

(251)

di1

. .

LpI

0 ;

(252)

duC

. . CpU

C u

0 ,

(253)

по системе (247) формируется система уравнений для изображений:

I1 p I2 p I3 p 0;
							U
		p Li1 0 R I2				p	U
LpI1								;
LpI1							p	;
			p U		p 0;		p	(254)
R I		2	p U	C	p 0;
		2		C
	p CpUC p CuC 0 ,
I3	p CpUC p CuC 0 ,

которой может быть сопоставлена операторная схема замещения, приведенная на рис. 34.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
:Конвергентный подход к проектированию дополнительных общеобразовательных общеразвивающих программ