Материал: Переходные процессы в ЛЭЦ 2014
|
|
60 |
j 79,6 |
|
|
4777e j90 |
|
|
|
|
|
|||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
47,9e |
j37 |
38,3 j 28,8 Ом; |
|||
|
60 j 79,6 |
|
99,7e j53 |
|
||||||||||
Z 20 38,3 j 28,8 j15,7 58,3 j13,1 59,8e j12,7 |
Ом; |
|||||||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
162ej60 |
|
2,71ej72,7 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1m |
|
|
59,8e j12,7 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Мгновенное значение тока
i1 Jm I1m ej t I1m sin t 1 ;
i1 = 2,71 sin(628 t + 72,7 ) А.
Комплексная амплитуда напряжения на емкости
UCm Z I1m;
UCm 47,9e j37 2,71ej72,7 130ej35,7 В.
Мгновенное значение напряжения на емкости
uC Jm UCm ej t UCm sin t ;
uC 130sin 628t 35,7 В.
В момент коммутации (при t = 0–)
i1 0 2,71sin 72,7 2,59 А; uC 0 130sin 35,7 75,9 В.
2. Дифференциальные уравнения для схемы на рис. 24 имеют вид:
i1 i2 i3 0;
|
|
di |
|
|
|
||
L |
1 |
u |
u; |
||||
|
|||||||
|
|
dt |
|
C |
|
||
Ri |
u |
0; |
|||||
|
|
2 |
|
C |
|
||
|
|
|
|
|
duC |
|
|
i |
C |
. |
|||||
dt |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
||
(202)
(203)
(204)
(205)
55
3. Принужденную составляющую (ток нового установившегося режима)
найдем, анализируя схему, представленную на рис. 30.
Комплексная амплитуда тока |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
I |
|
|
Um |
; |
(206) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1mпр |
|
Z j L |
|
|||
I |
|
|
162ej60 |
|
4,0ej78,9 . |
||||
|
|
|
|
|
|||||
1mпр |
|
|
38,3 j131, |
|
|||||
Мгновенное значение тока |
|
|
|
|
|
|
|||
i1пр Jm I1m пр ej t ; |
(207) |
||||||||
i1пр 4sin 628t 78,9 |
А. |
||||||||
4. Свободная составляющая тока i1.
Характеристическое уравнение р2 + 834р + 2 106 = 0 имеет корни
р1,2= – j св; р1 = – 417 + j1350; р2 = – 417 – j1350,
поэтому свободная составляющая имеет вид:
i |
Ае t sin |
t . |
|
(208) |
1св |
св |
|
|
|
5. Определение постоянных: |
|
|
|
|
i1 i1пр i1св 4sin 628t 78,9 Aе 417t |
sin 1350t . |
(209) |
||
Для определения постоянных A и γ предварительно из системы (190), за-
писанной для t = 0+, с учетом независимых начальных условий
uC 0 = uC 0 |
= 75,9 В; |
(210) |
|||||
i1 0 = i1 0 = 2,59 А |
(211) |
||||||
определяем |
|
|
|
|
|
||
i1 0 |
u 0 uC 0 |
|
|
||||
|
|
|
; |
(212) |
|||
L |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i1 0 |
162sin60 75,9 |
2576 |
A |
. |
|||
|
|
||||||
0,025 |
|
|
|
c |
|||
Постоянные А и γ найдем из системы уравнений: 56
i |
0 |
i |
0 |
Аsin ; |
|
|
1 |
|
1пр |
|
(213) |
|
|
|
i1пр |
0 |
|
i1 0 |
417 Аsin 1350 Аcos , |
||||
|
|
|
|
|
|
где
i1пр 0 4 sin 78,9 3,93 А;
i1пр 0 628 4 cos 78,9 484 А/с.
После подстановки всех найденных величин в систему (213) получаем:
2,59 3,93 Аsin ;
2576 484 417 Аsin 1350 Аcos ,
откуда А = 1,9; = –44,9 .
В итоге ток
i1 i1пр i1св 4sin 628t 78,9 1,9e 417t sin 1350t 44,9 A.
Построенная в соответствии с расчетом зависимость i1 t приведена на
рис. 32.
τ = 1/δ |
τ = 2,4·10–3 с |
A
i1
i1пр
i1св
i
t 
Рис. 32. Зависимость тока i1 от времени в переходном режиме
57
3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
3.1. Основные положения
Операторный метод в отличие от классического предусматривает переход от функций времени f(t), называемых оригиналами, к функциям F(p) – изобра-
жениям. Такой переход называется прямым преобразованием. Используется и обратный переход – от изображений к оригиналам, называемый обратным пре-
образованием.
Прямое преобразование переводит дифференциальные уравнения элект-
рических цепей в линейные алгебраические уравнения, решение которых осу-
ществляется более просто.
Обратное преобразование позволяет получить искомые ток и (или) на-
пряжение – функции времени. В электротехнике изображения, например, на-
пряжения или тока, чаще всего обозначаются большими буквами.
Один из путей получения изображений состоит в использовании преобра-
зования Лапласа
|
|
|
F p f t e ptdt, |
(214) |
|
0 |
|
|
где р комплексная переменная. |
f t и изображением |
F p принято |
Соответствие между оригиналом |
||
записывать в виде |
|
|
f t . . |
F p |
(215) |
или |
|
|
Lf t =F p , |
(216) |
|
где L символическое обозначение преобразования Лапласа.
Например, для постоянного напряжения u U const применение выра-
жения (214) дает формулу:
|
|
|
1 |
|
|
U |
|
||
|
|
|
|
||||||
U p U e ptdt U |
|
|
e pt |
|
|
|
, |
(217) |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
p |
|
0 |
p |
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
следовательно, в соответствии с выражением (215), (216):
. |
U |
|
U . |
|
(218) |
|
p
или
LU = |
U |
. |
(219) |
|
|||
|
p |
|
|
Аналогично определяется изображение синусоидальной функции:
|
sin t |
|
|
|
sin t e ptdt U |
|
psin cos |
|
|||
L U |
|
U |
|
|
(220) |
||||||
m |
m |
2 |
2 |
||||||||
m |
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и ряда других функций.
В литературе [3, 4] приводятся таблицы соответствия изображений и ори-
гиналов, которыми можно пользоваться при расчете переходных процессов.
Следует только иметь в виду, что наряду с преобразованием Лапласа может применяться и преобразование Карсона
|
|
F p p f t e ptdt, |
(221) |
0 |
|
которое от уравнения (214) отличается наличием множителя р перед интегралом.
Преобразование дифференциальных уравнений требует использования изображений производных и интегралов, которые определяются также на осно-
ве выражения (214) применением способа интегрирования по частям:
|
df t |
. . |
pF p f 0 ; |
|
|
|
|
(222) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
. |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
f t dt f |
|
|
t . |
|
F p |
|
f |
|
0 |
, |
(223) |
||
|
|
p |
p |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где f 0 начальное значение функции f(t);
f 1 0 начальное значение интегральной функции f t dt .
В дифференциальных уравнениях электрических цепей на основе выра-
жения (222) записываются напряжение на индуктивности
59