Документ: методичка по лабам Рцис, страницы 31-35

1

,

U

< Um ,

dF (U )

p (U ) =

x

= p

U

2

-U 2

(3.7)

m

x

dU

³ Um.

0,

U

Графики функций Fx(U ) и px(U ) приведены на рис. 3.6, б и 3.6, в.

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей функция распределения суммы независимых случайных величин с близкими значения-

ми дисперсий стремится к гауссовскому закону распределения при увеличе-

нии числа слагаемых, независимо от вида функций распределения слагаемых.

Аналитическое выражение для функции распределения суммы сигналов удобно получать через характеристическую функцию.

	ξ(ϕ)ξ (ϕ)			p	(U)			F (U)
				pξ		U		Fξ	U
	Um			ξ				ξ
	Um
	m								11
									11
				U
				U					0,5
-– p	-– F	F	p	j					0,5
π	Φ	Φ	π	φ		1//p
				φ		1//p
						π
	–−UUmm			–−Um		0	Um UU	–−Um	0	Um UU
						0			0
	а					б			в

Рис. 3.6

Характеристическая функция q(x) сигнала x(t) связана с плотностью распределения вероятностей p(x) преобразованием Фурье

¥		1	¥
q(x) = ∫ p(x)e jxxdx ;	p(x) =		∫ q(x)e- jxxdx .	(3.8)
		2p
-¥			-¥

Для суммы случайных величин	x = x1 + x2 + ¼+ xn характеристическая

функция связана с совместной плотностью распределения вероятностей величин

¥	¥
q(x) = ∫ ¼ ∫ e jx(x1 +x2 +¼+xn ) p(x1,x2 , ¼, xn )dx1dx2 ¼dxn .
-¥	-¥
Для независимых случайных величин
	p(x1,x2 , ¼, xn ) = p(x1) p(x2 )¼ p(xn ) ,	(3.9)

а потому

31

N

q = q1(x)q2 (x)¼qn (x) = ∏qn (x) ,

(3.10)

n=1

∞

где qn (x) = ∫ e jξn x p(xn )dxn

– характеристическая функция сигнала ξn (t) .

−∞

Последовательное использование зависимостей (3.10), (3.9) и (3.8) поз-

воляет получить плотность распределения вероятностей суммы независимых

сигналов по известным плотностям распределения отдельных слагаемых.

Найдем распределение суммы двух независимых случайных сигналов с оди-

наковым равномерным распределением. Пусть ξ(t) = ξ1(t) + ξ2 (t) , где ξ1 и ξ2 –

независимые случайные сигналы с плотностями распределения вероятностей

1

,

x1 < Um

,

1

,

x2

< Um ,

p(x ) =

2Um

) =

p(x

2

2Um

1

0,

x ³ U

m

;

0,

x

2

³ U

m

.

1

Характеристические функции сигналов ξ1 и ξ2 одинаковы и равны

Um

jxξ1

1

sin(Um x)

q2 (x) = q1(x) = ∫

e

dx1 =

.

2Um

Um x

−Um

Согласно выражению (3.10) характеристическая функция суммы сигналов

sin(Um x)

2

q(x) = q1(x)q2 (x) =

Um x

.

Плотность распределения вероятностей суммы сигналов

∞

− jξx sin(Um x) 2

2U

m

- x

x < 2Um ,

p(x) =

1

e

− jξx

q(x)dx =

1

e

dx =

2

,

2p

−∞∫

2p −∞∫

Um x

(2Um )

x ³ 2Um.

0,

Зависимости p(ξ1,2 ) и p(x) приведены на рис. 3.7.

p(ξ

p(ξ )

p(ξ); ξ ξ + ξ

2

p (ξ1)

= p

(ξ

2)

p (ξ); ξ= ξ1+ ξ

2

1

2

1

2U

2Umm

2U m

m

– U

0

U

m

ξ

1,2

– 2U

0

2U

xξ

–

m

x

–2 Um

2Um

m

1,2

m

а

б

а

Рис. 3.7

б

32

p (ξ)

p(ξ)

N = 3

p(ξ)

N = 3

N =

N = 1

N = 2

N = 3

N = 4

– 1

0 1

ξ

– 2 0

1 2

ξ

– 3

0

1 2 3

ξ

– 4

0

1 2 3

4 ξ

–1

ξ

–2 0

ξ

–3

0

ξ

4

0

4 ξ

а

б

в

г

Рис. 3.8

N

Для сигнала ξ(t) = ∑Um cos(ωnt + ϕn )

в виде суммы гармонических ко-

n=1

лебаний с равными амплитудами Um = 1 и независимыми случайными фаза-

ми ϕn , распределенными в интервале (−π, +π] , плотность распределения ве-

роятностей p(ξ) была рассчитана на ЭВМ для числа слагаемых N = 1, 2, 3, 4.

Графики зависимостей p(ξ) приведены на рис. 3.8. Видно, что с увеличе-

нием числа слагаемых плотность распределения их суммы стремится к гаус-

совскому распределению (ср. с рис. 3.4 при Uср = 0 ).

3.2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка состоит из макета и двух осциллографов.

В макете находятся генератор исследуемых случайных сигналов, а также измерители функции распределения вероятностей и плотности распределе-

ния вероятностей. Структурная схема макета (рис. 3.9) изображена на его пе-

редней панели.

В макете формируется пилообразное напряжение «на вход Х осцилло-

графа» для формирования горизонтальной развертки в режиме работы ос-

циллографа Х-Y и синхронизированное с ним напряжение с выхода измери-

теля функции распределения вероятности и плотности вероятности. Пилооб-

разное напряжение подается на вход «Х» осциллографа, а напряжение с вы-

хода измерителя на вход «Y» осциллографа. На экране осциллографа появля-

ется изображение функции распределения F(U) или плотности распределе-

ния вероятностей p(U). Выбор зависит от положения переключателя «F(U) – p(U)» на передней панели экспериментальной установки.

33

						Измеритель
Вход «U» (развертка)						функций распределения
Вход «U» (развертка)				Σ
G1	G2	G3	G4	Σ		Σ
G1	G2	G3	G4
1	2	3	~
~	~	~	~
			Σ			p(U)	F(U)
			Σ		Σ	Функция
						Функция
						распределения
Синусоидальные сигналы						Форма сигнала
Синусоидальные сигналы

G1	G2	G3	G4			Gш
1	2	3	4	Источник		Gш
				Источник
				гауссовского шума

Σ

G~

Треугольные сигналы

Gш

Источник

рэлеевского шума

Рис. 3.9

Выход «Форма сигнала» установки соединяется со входом «Υ» второго осциллографа, на экране которого наблюдают изображение исследуемого сигнала.

В макете установки имеются следующие источники сигналов:

1.Четыре генератора гармонических колебаний различных частот.

2.Четыре генератора сигналов треугольной формы различных частот.

3.Формирователь шума с распределением по обобщенному закону Рэлея.

4.Генератор шума с гауссовским законом распределения.

Имеется также несколько сигналов специальной формы и вход для внешнего сигнала.

Выходы всех источников сигналов подключены через сумматор ∑ ко входу измерителя функций распределения. Каждый источник сигнала имеет тумблер включения. После сумматоров стоят усилители для регулировки амплитуды сигналов.

3.3.Задание и указания к выполнению работы

1.Подготовить установку к измерениям. На осциллографе, отображаю-

щем форму сигнала, установить коэффициент развертки 0,1 с/дел, коэффици-

ент отклонения 0,2 В/дел. Включить осциллографы и экспериментальную

34

установку. В установке выключить все генераторы (ручки тумблеров – вниз),

что соответствует нулевому сигналу на входе измерителя функции распреде-

ления; тумблер «Функции распределения» – в положении F(U). На экране появится изображение ступенчатой функции

1,	U ³ 0,
F (U ) =	U < 0.
0,	U < 0.

Регулировкой смещения и коэффициента отклонения осциллографа

установить изображение так, чтобы скачок находился в центре экрана и ве-

личина скачка была равна 3…4 см.

2. Откалибровать изображение на экране осциллографа. Для этого вклю-

чить генератор треугольного сигнала № 4 (ручка тумблера – вверх). На экране осциллографа переход от F(U) = 0 к F(U) = 1 будет иметь вид наклонной ли-

нии (см. рис. 3.3, в). Точки излома соответствуют минимальному U1 и макси-

мальному U2 значениям треугольного сигнала. Измерить расстояние по гори-

зонтали (в делениях) между точками излома – L. На экране второго осцилло-

графа получить изображение треугольного сигнала (см. рис. 3.3, а) и измерить его размах (U2 − U1) в вольтах. Масштаб по горизонтали для изображения на экране первого осциллографа (в вольтах на деление) равен (U2 − U1) L . Дан-

ный масштаб является одинаковым для всех получаемых в дальнейшем гра-

фиков функций распределения F(U) и плотностей вероятности p(U).

Переключатель «Функции распределения» в установке перевести в по-

ложение «p(U)». На экране первого осциллографа появится П-образное изоб-

ражение, соответствующее равномерному распределению вероятности, ха-

рактерному для треугольного сигнала (см. рис. 3.3, б).

Если изображение по вертикали занимает DL делений, то масштаб изображения p(U) по вертикали, (В×дел)–1 , составит 1[(U2 − U1) L] . Данный масштаб является одинаковым для всех получаемых в дальнейшем графиков плотностей вероятности p(U).

Вертикальный масштаб для графиков функций распределения очевиден

благодаря предельным свойствам функций распределения ( lim F(U) = 0 и

U → −∞

lim F(U) = 1).

U → ∞

35

Материал: методичка по лабам Рцис

Смотрите также: