Документ: методичка по лабам Рцис, страницы 26-30

Материал: методичка по лабам Рцис

Смотрите также:

3.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ИПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

Цель работы – исследование одномерных функций распределения вероятностей и плотностей вероятностей значений случайных сигналов.

3.1. Теоретические сведения

Случайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными. Для стационарного сигнала усредненные характеристики не зависят от

выбора начального отсчета времени. В данной работе рассматриваются стационарные сигналы.

Основной характеристикой случайных сигналов являются функции распределения вероятностей их значений. По функциям распределения могут быть определены все другие характеристики сигнала, в том числе его среднее значение, дисперсия, корреляционная функция, вероятность попадания в заданный интервал значений.

Одномерная функция распределения вероятностей F(U) случайного сиг-

нала x(t) есть вероятность того, что значение сигнала не превысит уровень U:

F(U) = P(x £ U).

Основные свойства функции F(U):

1)0 £ F(U) £ 1, причем F(– ¥) = 0, F(¥) = 1;

2)F (U2 ) ³ F (U1) при U2 > U1, т. е. F(U) – неубывающая функция;

3) F (U2 ) - F (U1) = P(U1 < x £ U2 ) – вероятность попадания случайного сигнала ξ(t) в полузакрытый интервал (U1,U2 ] .

Для функции распределения F(U), имеющей производную, вводят понятие плотности вероятностей

p(U ) =	dF (U )	.	(3.1)

dU

Основные свойства функции p(U):

1)размерность p(U) равна обратной величине размерности случайного сигнала [ p(U )] = [x]−1 ;

2)p(U) ³ 0;

3)функция распределения определяется выражением

26

U
F (U ) = ∫ p(U1)dU1;	(3.2)

−∞

4) вероятность попадания случайной величины в интервал (U1,U1 + dU )

равна ∫UU +dU p(U1) dU1 = p(U )dU .

Для исследуемых в работе сигналов предполагается выполнение условия эргодичности. Из него следует, что средние параметры случайного процесса, определенные по множеству реализаций, с единичной вероятностью равны средним параметрам, определенным по одной реализации.

Для таких сигналов одномерная функция распределения F(U) равна отношению времени, в течение которого значения сигналов не превышают заданный уровень U, ко всему времени T измерения сигнала (3.2) (рис. 3.1, а):

Указанное свойство используется в измерительном приборе для измерения функции распределения. Структурная схема измерителя приведена на рис. 3.1, в. Опорное напряжение U и случайный сигнал ξ(t) подаются на два входа компаратора (сравнивающего устройства). Если ξ(t) > U, напряжение на выходе компаратора равно нулю, а при ξ(t) ≤ U оно равно Um (рис. 3.1, б).

Выход компаратора соединен с интегратором, выполненным в виде

RC-цепи. При f RC >> 1, где f – ширина спектра случайного сигнала,

напряжение на выходе компаратора равно UmP(U ) .

u

ξ(t)

U

ξ(t)

а

U

а

–T /2

t

T/2

t

–T /2

t11

t22

t33

t44

t55

T/2

t

uкк(t)

u (t)

б

UmF(U

UmF(U)

б

UUm

m

–T /2

t

2

t

T/2

t

–T /2

t1

t

t3

t 4

t5

T/2

t

1

2

3

4

5

ξ(t)

u (t)

ξ(t)

uкк(t)

U F(U)

U mF(U)

вв

UU

m

Y X

Рис. 3.1

27

Напряжение с выхода интегратора подается на вход «Y» осциллографа, а опорное напряжение на вход «Х». При медленном изменении опорного напряжения U на экране осциллографа появляется изображение F(U) – функции распределения вероятностей значений исследуемого случайного сигнала ξ(t).

Метод измерения плотности вероятности основан на формуле численного дифференцирования функции F (U ) (3.1):

	p(U ) =	dF (U )	≈	F (U +	U ) − F (U )	для малых U.
					U
		dU
Если	U мало и постоянно,				то p(U)	пропорционально разности
F(U + U) –	F(U), т. е. разности напряжений на выходах двух измерителей

функции распределения сигналов ξ(t) при опорных напряжениях U + U и U соответственно на первом и втором измерителях (рис. 3.2).

U + ∆U

U +

U

ИзИзмерительритель

ВычитВычитающеещ е

F(U + ∆U)

устройство

F(U + U)

уст ойство

ξξ(t)

pр((UU))

(

ИзИзмерительритель

U

F(U)

Рис. 3.2

В работе исследуются функции распределения и плотности вероятности для следующих случайных сигналов.

Треугольный сигнал со случайной начальной фазой (рис. 3.3, а). Он имеет равномерное распределение вероятностей значений напряжения

(рис. 3.3, б, в), описываемое следующими выражениями:

				1						0,
				1	, U1	≤ U ≤ U2 ,							− U
										U
										U
p(U ) =		U	2	− U					F (U ) =				1	,
p(U ) =		U		− U					F (U ) =					,
				1							U		− U
	0,				U [U ,U			],			U	2	− U
	0,				U [U ,U		2	],				2	1
						1	2
										1,

U < U1,

U1 ≤ U ≤ U2 , (3.3)

U > U2.

U	ξξ((tt))	pp(U))			FF((U))
U	2
U
2		1
		1				11
		UU22 –−UU11				11
		UU22 –−UU11
		tt
UU		U1	0 U2	U	U1	0 U	2	U
11		U1	0 U2	U	U1	0 U	2	U
		1	2		1	U		U
		1	2		1	2
	а		бб			вв
		Рис. 3.3
		28

Шум усилителя.

Он

имеет

гауссовскую

функцию

распределения

(рис. 3.4, а, б). Для него

1

(U -Uср)2

1

U -Ucp

p(U ) =

2 2

F (U ) =

+ Ф0

s

,

2ps exp -

,

2

(3.4)

s

где s2 –

дисперсия; Ucp –

среднее значение напряжения;

Ф0 (x) –

интеграл

ошибок, значения которого табулированы.

pp(UU))

F((UU))

1

2πσ

0,50,5

0

Uср

U

0

U

ср

U

ср

Рис. 3.4

Напряжение x(t) на выходе амплитудного детектора. На вход детек-

тора

подается

сумма

двух

сигналов:

узкополосного

шума

ξш(t) = U1(t)cos(ω0t + ϕ(t))

с гауссовским законом распределения вероятно-

стей

значений

ξш

и

детерминированного

гармонического

сигнала

ξ0 = Uc cos ω0t с постоянной амплитудой Uc ; ξ(t) –

огибающая суммы этих

двух сигналов.

Напряжение ξ(t) имеет функцию распределения, соответствующую

обобщенному закону Рэлея (рис. 3.5, а, б):

0,

U < 0,

U 2 +U

2

UU

(3.5)

p(U ) = U

c

exp

c

I0

,

U ³ 0,

s2

2s2

s2

где s2 – дисперсия узкополосного шума ξш(t) ;

Uc – амплитуда гармониче-

ского сигнала; I0 (x) –

модифицированная функция Бесселя нулевого поряд-

ка. Она табулирована; кроме того, I0 (0) = 1;

I0 (x) ® ex /

при x ® ¥.

2px

При Uc > 3σ обобщенное распределение Рэлея приближается к гауссов-

скому распределению (рис. 3.5, а, б).

29

σp(U)		U σ = 0				F(U))
σp(U)		U σ = 0				F(U))
0,6		U c/σ = 0
0,6		c	22				1 UU	/σσ= 0
		11	22				1 UU	/σσ= 0
				3			c
0,4				3			c
0,4											22	33
0,2									1		22	33
0,2
0	1	2	3	4	5	U/σ	0	1	2		3	4	5	U/σ
						U/σ								U/σ
		а a								б	б
										б
						Рис. 3.5
Гармонический сигнал с постоянной амплитудой и случайной фазой.

ξ(t) = Um cos(ωt + ϕ) , где Um и ω – постоянные амплитуда и угловая частота;

ϕ – случайная фаза,	распределенная равномерно на интервале (−π, +π] , т. е.
плотность распределения фазы pϕ (ϕ)				и функция распределения фазы Fϕ (ϕ)
имеют вид:
	1			0,			ϕ ≤ −π,
	1		−π < ϕ ≤ π,		ϕ + π
		,					−π < ϕ ≤ π,
	2π	,				,		(3.6)
pϕ (ϕ) =	2π			Fϕ (ϕ) =	2π	,		(3.6)
			ϕ (−π, +π],		2π		ϕ > π.
0,			ϕ (−π, +π],	1,			ϕ > π.

Найдем функцию распределения напряжения случайного сигнала ξ(t).

Это стационарный сигнал, поэтому можно положить t = 0. Тогда ξ = Um cos ϕ .

Из графика функции ξ(ϕ) (рис. 3.6, а) видно,			что вероятность события
ξ ≤ U (для	U	≤ Um ) равна вероятности события	Y {(−π, −Φ) или (Φ, π)} ,

где Φ = arccos		U	, т. е. P(ξ ≤ U ) = P(−π < ϕ ≤ −Φ) + P(Φ < ϕ ≤ π) .

		Um
	Используя определение функции распределения и выражения (3.6), по-
следнее равенство можно записать в виде
F (U ) = F (−Φ) + 1 − F (Φ) = −Φ + π					+ 1 − Φ + π	= 1 − Φ = 1 −	1	arccos	U

ξ	ϕ		ϕ	2π	2π	π	π
									Um

для U ≤ Um .

1,	U > Um ,
Из рис. 3.6, а видно также, что Fξ (U ) =	0 < −Um.
0,	0 < −Um.

Плотность распределения вероятностей значений ξ:

30

∑ t{ξ(t) ≤ U} = lim

…+ (t2 − t1) + (t4

F (U ) = lim