Материал: методичка по лабам Рцис

2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СИГНАЛОВ

Цель работы – изучение процедуры синтеза периодических сигналов с помощью ограниченного числа гармонических колебаний.

2.1.Теоретические сведения

Врамках настоящей лабораторной работы целесообразно взглянуть на представление сигнала s(t) тригонометрическим рядом Фурье в вещественной или комплексной форме (см. работу 1) с более общих позиций.

Втеории радиотехнических цепей и сигналов часто возникает необходимость представления заданного сигнала s(t), определенного на интервале

времени t [t1, t2] (в частном случае это может быть и непериодический сиг-

нал, тогда t1 → – ∞ и t2 → ∞), в виде линейной комбинации некоторой систе-

мы функций {ϕi(t)}, где i = 0, 1, 2, 3, ..., а именно:

где Cɺi – постоянные коэффициенты. Очевидно, с целью устранения избыточ-

ности в представлении (2.1) естественно потребовать, чтобы выбранная система функций (базис разложения) являлась линейно независимой, т. е. чтобы ни одна из функций базиса не выражалась в виде линейной комбинации любых других функций. Однако соблюдение данного требования еще не обеспечивает возможности эффективного применения разложения (2.1), что обусловлено сложностью вычисления коэффициентов Cɺi при заданных сигнале s(t) и бази-

се {ji(t)}. Эту возможность создает известная из математики теорема о том,

что всякая линейно независимая система функций может быть сделана ортогональной, т. е. такой, для которой справедливо следующее соотношение:

где ϕi называется нормой функции ϕi(t). С другой стороны, доказано, что всякая ортогональная система функций является линейно независимой [1],

что и служит основанием рассматривать разложение (2.1) исключительно с использованием ортогональных базисов. Значение коэффициента Cɺn в этом случае вычисляется таким образом:

16

Ряд (2.1), в котором коэффициенты Cɺi определены в соответствии с форму-

лой (2.2), называется обобщенным рядом Фурье по данной системе функций

{ϕi(t)}.

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд [2]. Чаще других преследуются следующие две цели: 1) точное разложение на простейшие ортогональные функции; 2) аппроксимация сигналов, процессов или характеристик, когда требуется свести к минимуму число членов ряда при заданной допустимой погрешности. При первой постановке задачи наибольшее распространение получила система основных тригонометрических функций синусов и косинусов. Это объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь с постоянными параметрами. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи. По этим, а также и некоторым другим причинам гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современной науки и техники. При второй постановке задачи – приближенном разложении функции – применяются разнообразные ортогональные системы функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра, функции Уолша и многие др.

Содержание данной лабораторной работы иллюстрирует процесс формирования (синтеза) некоторых периодических сигналов на основе ограниченного числа гармонических составляющих с частотами, кратными частоте повторения. Амплитуды и фазы гармоник устанавливаются вручную для задания структуры спектров, соответствующих синтезируемым сигналам. Ниже кратко охарактеризованы исследуемые в работе сигналы и приведены их разложения в ряд Фурье (в вещественной форме).

Периодическое колебание прямоугольной формы (меандр) s1(t) имеет вид, изображенный на рис. 2.1, где τ = Т/2. Легко видеть, что в силу четности функции s1(t) и отсутствия постоянной составляющей ее разложение в ряд Фурье в форме (1.1) будет содержать лишь косинусные компоненты, а именно:

17

Периодическое колебание пилообразной формы s2(t) представлено на рис. 2.2. Оно, подобно предыдущему сигналу, не имеет постоянной составляющей и, в отличие от него, является нечетной функцией времени.

Можно показать, что его разложение в ряд Фурье имеет вид

Периодическое колебание треугольной формы s3(t) изображено на рис. 2.3, особенности его представления рядом Фурье аналогичны случаю 1, а разложение таково:

Ω, Ψ – круговая частота и начальная фаза модулирующего гармонического колебания. В частном случае при нулевых значениях параметров Ψ и ϕ0

формула (2.6) может быть преобразована к виду

Структура АМК с однотональной модуляцией изображена на рис. 2.4.

18

случае описывается таким образом:

где β – индекс УМ, а остальные обозначения имеют тот же смысл, что и в формуле (2.6). В случае УМ (частотной или фазовой) с малой глубиной

(β << 1) выражение (2.8) при нулевых значениях начальных фаз Ψ и ϕ0 может быть представлено в следующей форме:

Если же условие малости глубины модуляции не выполняется, то колебание с однотональной УМ может быть разложено в бесконечный ряд:

Колебание с однотональной УМ (2.8) изображено на рис. 2.5.

Периодическая последовательность δ-функций s6(t), широко исполь-

зуемых в теоретической радиотехнике, представлена на рис. 2.6.

19

Если следовать критериям, которым должен удовлетворять периодический сигнал, разлагаемый в ряд Фурье, то последовательность s6(t) в полной мере им не соответствует, поскольку δ-функция представляет собой, по су-

ществу, разрыв второго рода [2]. Аналитическое выражение для последовательности s6(t) имеет вид

где Т – период последовательности. Однако формальное применение разложения в ряд Фурье в виде (1.1) к рассматриваемой последовательности (2.11) приводит к приемлемому результату, а именно:

Подобный подход к представлению сигналов рядом и интегралом Фурье используется в теории обобщенных функций, к которым принадлежит, в частности, и δ-функция [2].

Из соотношения (2.12) следует, что переменная составляющая s6~(t) пе-

риодической последовательности δ-функций s6(t) может быть записана в виде

2.2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка реализована в виде компьютерной программы, позволяющей синтезировать произвольные периодические сигналы из 12 гармоник посредством задания их амплитуд и начальных фаз. Вид экрана программы показан на рис. 2.7.

Рис. 2.7

20