Материал: методичка по лабам Рцис

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

полнения математических преобразований при работе со спектрами сигна-

лов. При этом амплитудный и фазовый спектры (| Cɺn | и arg Cɺn соответствен-

но) периодического сигнала определены на всей вещественной оси частот. Возможный вид амплитудного спектра приведен, в частности, на рис. 1.3.

Cɺ

|Ck

Cɺ

|C2

|Cn

Cɺ0

– ω

–– ωω2––ωω1

ωω1

ωω2

ωω

– ωn

Рис. 1.3

Следует отметить, что значения коэффициентов Cɺn могут быть легко вычислены непосредственно по формуле

	ɺ		1 T		− jω t
	Cn =			∫ s(t)e	n	dt .	(1.6)
			T
				0
	Таким образом, периодический сигнал s(t), удо-
s(t)	влетворяющий условиям Дирихле,						имеет линейчатый
	(дискретный) спектр, расположенный в области неот-
	рицательных частот при использовании вещественной
0	t формы ряда Фурье и определенный на всей действи-
	тельной	частотной оси в случае					его комплексного

Рис. 1.4

представления.

Гармонический анализ непериодических сигналов. Известное из мате-

матики обобщение разложения периодического сигнала в ряд Фурье на случай непериодического сигнала s(t) (рис. 1.4) приводит к следующему результату:

	1	∞	ɺ	jωt
s(t) =		∫	S (ω)e		dω ,	(1.7)
s(t) =		∫	S (ω)e		dω ,	(1.7)
	2π −∞

где Sɺ(ω) – спектральная функция сигнала s(t), вычисляемая с помощью пря-

мого преобразования Фурье, а именно:

∞
Sɺ(ω) = ∫ s(t)e− jωt dt .	(1.8)

−∞

Соотношение (1.7) называется обратным преобразованием Фурье. Уста-

новлено, что выражения (1.7) и (1.8) справедливы, если сигнал s(t) на любом конечном интервале времени удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемым на всей временной оси, т. е.

∞

∫ s(t) dt < ∞ .

−∞

Спектральная функция сигнала s(t) является в общем случае комплексной и может быть записана в экспоненциальной форме

Sɺ(ω) =

Sɺ(ω)

exp[ j arg Sɺ(ω)] ,

где

Sɺ(ω)

– амплитудный,

а arg Sɺ(ω) –

фазовый спектры сигнала s(t).

Из

формулы (1.8) следует, что

∞

Sɺ(ω) = ∫

s(t)cos ωt dt − j ∫ s(t)sin ωt dt = Re Sɺ(ω) + j Im Sɺ(ω) .

−∞

Поскольку первое и второе слага-

ɺɺ

ɺɺ( )

((ω)|

arg S ω

емые в данном соотношении являются

S ω

соответственно

четной и

нечетной

функциями частоты, становится оче-

видным, что амплитудный спектр есть

четная, а фазовый – нечетная функции

частоты. Возможные структуры этих

спектров представлены на рис. 1.5, а, б

Рис. 1.5

соответственно. С использованием указанных свойств спектральной функции

Sɺ(ω) выражение (1.7) может быть записано в виде

∞

j arg Sɺ(ω)

jωt

∞

s(t) =

∫

S (ω)

dω = ∫

S (ω)

cos[ωt + arg S (ω)]dω.

2π −∞

Последнее соотношение наглядно иллюстрирует «физический» смысл спектральной функции Sɺ(ω) : из него следует, что сигнал s(t), удовлетворяю-

щий названным условиям, может быть представлен в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих, частоты которых непрерывно заполняют интервал от 0 до ∞, начальные фазы задаются функцией arg Sɺ(ω) ,

а амплитуды являются бесконечно малыми и их частотная зависимость опи-

сывается законом Sɺ(ω) .

Итак, непериодические сигналы характеризуются непрерывным (сплошным) спектром, причем амплитудный спектр является четной, а фазовый – нечетной функциями частоты.

Связь между спектрами одиночного импульса и периодической по-

следовательности импульсов. Пусть задан одиночный импульсный сигнал s(t) (см. рис. 1.4) со спектральной функцией Sɺ(ω) . Пусть имеется также пе-

риодическая последовательность импульсов sп(t) , сформированная повторе-

нием исходного импульсного сигнала s(t) с периодом Т (см. рис. 1.1, не обращая внимания на обозначение оси ординат). Комплексный спектр перио-

дического сигнала sп(t) , согласно соотношению (1.5), характеризуется набо-

ром коэффициентов Cɺn , n (−∞, ∞). Ответ на вопрос о связи между спек-

тральной функцией сигнала s(t) и комплексным спектром периодической по-

следовательности sп(t) имеет важный практический смысл. Указанная связь легко устанавливается. Действительно, с учетом выражений (1.1), (1.2), (1.5) и (1.8) можно записать следующее:

Cɺ

e jϕn =

( A cos ϕ

+ jA sin ϕ

) =

− jb ) =

∞

1 T

− jω t

∫

sп(t)e

dt =

∫ s(t)e

dt =

S (ωn ).

−∞

Данные соотношения свидетельствуют о том, что значения комплексного спектра периодического сигнала sп(t) с точностью до постоянного (раз-

мерного) коэффициента 1/Т совпадают с отсчетами спектральной функции исходного одиночного импульса s(t), взятыми на соответствующих частотах. Другими словами, огибающие амплитудного и фазового дискретных спектров периодического сигнала совпадают по форме с амплитудным и фазовым непрерывными спектрами исходного одиночного импульсного сигнала, что иллюстрируется на рис. 1.6, а, б.

ɺ(

)

ɺɺ

( )

~arg S(ω)

S(ω)|

–– ωω

– ωω 0

ωω

–– ωω2 –– ωω1 0 ωω1 ωω2

ωω

Рис. 1.6

Спектры радиосигналов с амплитудной модуляцией (АМ). Пусть за-

дан некий сигнал A(t) ³ 0 (рис. 1.7) со спектральной функцией SɺA(w) , модуль которой изображен на рис. 1.8.

	\|	Sɺ ((ω)\|


ss((tt))		A

0	tt	0
			ωω
Рис. 1.7		Рис. 1.8
Сигнал s(t)	вида A(t) cos(w0t + j0), где	w0 и j0 – круговая частота и

начальная фаза некоторого гармонического колебания, называется радиосигналом с АМ, осуществляемой по закону A(t). При этом, как правило, несущая частота w0 радиосигнала s(t) существенно превосходит эффективную ширину спектра модулирующего сигнала A(t), называемого часто видеосигналом. Возможная структура радиосигнала s(t) изображена на рис. 1.9. Его спектральная функция легко вычисляется:

∞

Sɺ(w) = ∫

s(t)e− jωt dt = ∫ A(t)cos(w0t + j0 )e− jωt dt =

∞

−∞

∞

∫

A(t)e jϕ0 e− j(ω − ω0 )t dt +

∫ A(t)e− jϕ0 e− j(ω+ ω0 )t dt =

−∞

2 −∞

jϕ

(w - w

) +

− jϕ ɺ

(w + w ).

(1.9)

0 S

ss((tt))

ɺɺ(

)

|SS(ω)|

S A (ω+ ω0 )

S A (ω − ω0 )

ɺɺ

S (ω + ω

S (ω –

ω )|

– ωω0

ωω0

ωω

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Учитывая

сделанное

предположение

о соотношении

частоты ω0

и ширины спектра видеосигнала A(t), полученное выражение удобно записать в следующей форме:

		jϕ0	ɺ			(ω − ω ),			ω > 0,
0,5 e			S			(ω − ω ),			ω > 0,
Sɺ(ω) =				A				0	ω < 0.
0,5 e− jϕ0 Sɺ					A		(ω + ω ),		ω < 0.
					A			0
Такая запись позволяет	утверждать,							что при выполнении указанных

условий спектральная функция радиосигнала с АМ пропорциональна спектральной функции исходного видеосигнала, смещенной вдоль частотной оси на значение несущей частоты. Амплитудный спектр радиосигнала s(t) представлен на рис. 1.10.

В случае АМ периодическим видеосигналом sп(t) для нахождения спек-

тра соответствующего радиосигнала s(t) = sп(t)cos(w0t + j0 ) удобно вос-

пользоваться вещественной формой ряда Фурье. Пусть модулирующий сиг-

нал sп(t) ³ 0 имеет вид

		a0	∞
s	(t) =		+ ∑ A		cos(ω t + ϕ		) .

п		2 n=1		n	n	n

Тогда радиосигнал s(t) может быть записан в следующей форме:

s(t) = a0 cos(ω0t + ϕ0 ) + 2

∞	A				A
+ ∑		n	cos[(ω0	+ ωn )t + ϕ0 + ϕn ] +	n	cos[(ω0	− ωn )t + ϕ0	− ϕn ] ,
		2			2
n=1

которая наглядно отражает спектральный состав АМ-радиосигнала s(t), представленный в области положительных частот. Возможные структуры амплитудных спектров видео- и радиосигналов sп(t) и s(t) изображены на рис. 1.11, а, б соответственно.

|aa

A11

|A2

|a00|

ω +ω

0 ωω ωω

ωω

1 2

ω + ω

ω00+

ω1

ω00+

ωn

Рис. 1.11

Как легко видеть, характер трансформации спектра при АМ периодическим видеосигналом по существу не отличается от предыдущего случая.

Смотрите также:

12
3788
5719
Автоматизированное проектирование печатных плат электронных средств. методические указания к самостоятельной работе для студентов. Ципина Н.В
Анализ механизма управления финансами предприятия
Анатомия растений
Антенатальная профилактика кариеса. Профилактика стоматологических заболеваний у беременных - основа стоматологического здоровья детей раннего возраста
Билет 3
вар 2, 10, 18
Диалектика традиционного и индивидуального: к вопросу о писательской самобытности Х. Байрамуковой