Материал: методичка по лабам Рцис
В дальнейшем коэффициент отклонения осциллографа C1–83 (I) не изменять.
3.Исследовать функции распределения и плотности вероятностей мгновенных значений для следующих сигналов:
• гармонического сигнала любой частоты № 1–4 при двух значениях его амплитуды;
• треугольного сигнала любой частоты № 1–4 при двух значениях его амплитуды;
• гауссовского шума при двух значениях его дисперсии;
• рэлеевского шума при нулевом и ненулевом значениях амплитуды детерминированного сигнала.
Указанные варьируемые параметры выбрать самостоятельно таким образом, чтобы на графиках было хорошо заметно их влияние на форму функции распределения и плотности вероятности.
Исследование производится следующим образом. В исходном положении все генераторы выключены. Включить генератор исследуемого сигнала. По изображению сигнала на экране второго осциллографа убедиться, что включен требуемый сигнал, и определить диапазон регулировки уровня исследуемого сигнала (амплитуда для гармонического и треугольного, эффективное значение для шумов). В этом диапазоне выбрать два значения уровня исследуемого сигнала и для каждого из них зарисовать с экрана первого осциллографа изображения функций p(U) и F(U) с учетом ранее определенных масштабов по осям.
4.Исследовать сходимость к гауссовскому закону распределения суммы независимых случайных сигналов. Выяснить, для какого из двух исходных за-
конов распределения – равномерного (треугольный сигнал) или вида
1 − 1π arccos x (гармонический сигнал) – характерна более быстрая сходимость.
Для суммы гармонических сигналов исследование производится следующим образом. В исходном положении все генераторы выключены. Включить генератор синусоидального сигнала № 1 и зарисовать график функции распределения F(U). Затем, не выключая генератор этого сигнала, включить генератор синусоидального сигнала № 2 и зарисовать график функции распределения F(U) для суммы двух синусоидальных сигналов. Далее поочередно дополнительно включить генераторы синусоидальных сигналов № 3 и № 4, каждый раз зарисовывая графики функции распределения суммарного сигнала.
Для суммы треугольных сигналов исследование производится аналогичным образом.
36
Содержание отчета
Отчет по работе должен содержать:
•результаты определения масштабов графиков согласно п. 2;
•графики функций распределения и плотностей вероятностей значений сигналов, исследованных в п. 3;
•анализ соответствия графиков, полученных в п. 3, теоретическим ре-
зультатам (выражения (3.3)–(3.7)) [4];
•графики функций распределения для последовательных сумм синусоидальных и треугольных сигналов согласно п. 4;
•вывод о скорости сходимости распределения вероятности суммы независимых случайных сигналов к гауссовскому закону.
Контрольные вопросы
1.Как измеряют функцию распределения по одной реализации эргодического случайного процесса?
2.Определить функцию распределения F(x), математическое ожидание mx и дисперсию Dx для случайной величины, имеющей заданную преподава-
телем плотность вероятности p(x).
3.Определить плотность вероятности p(x), математическое ожидание mx
идисперсию Dx для случайной величины, имеющей заданную преподавате-
лем функцию распределения F(x).
4. Могут ли эти функции быть функциями распределения вероятности?
F(x) |
F(x) |
|
F(x) |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
x |
0 |
1 |
2 |
x |
|
а |
|
б |
|
|
в |
|
5. Могут ли эти функции быть функциями плотности вероятности?
p(x) |
p(x) |
|
p(x) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
x |
0 |
1 |
2 |
x |
а |
|
б |
|
|
|
в |
|
6.Как зависит плотность вероятности нормального закона от входящих
внее параметров? Пояснить графически.
37
7. Как зависит плотность вероятности обобщенного закона Рэлея от параметров Uс и σ?
8. Плотность распределения случайного сигнала u(t) представлена суммой
p(u) = 13 δ(u) + 13 δ(u −1) + 13
δ(u − 2) .
Записать и построить функцию распределения F(u) и определить математическое ожидание и дисперсию u(t). Привести пример реализации u(t).
9. Известно, что плотность распределения суммы двух независимых случайных сигналов u(t) и v(t) с плотностями распределения pu (u) и pv (v)
является сверткой
px (x) = p(u + v) = ∫−∞∞ pu (λ) pv (x − λ)dλ .
Рассчитать px (x) для заданной преподавателем суммы двух сигналов,
исследованных в работе, и сравнить с экспериментальными данными. 10. Может ли функция распределения вероятности:
а) принимать постоянное значение на некотором интервале? б) иметь скачок в некоторой точке?
Если может, то что можно сказать о данном интервале (точке)?
11.Как измеряется плотность распределения вероятностей в лабораторном макете?
12.Какую роль играют RC-цепочки в составе структурной схемы лабораторного макета?
13.Как будет выглядеть плотность вероятности рэлеевского закона при
σ= 0?
14.Функция распределения стационарного случайного сигнала u(t) представлена в виде смещенной функции Хевисайда:
F(u) = σ(u − 3).
Записать и построить соответствующую плотность распределения p(u), определить математическое ожидание и дисперсию сигнала u(t). Привести пример реализации сигнала u(t).
15. Случайная величина ϕ принимает значения π/4 и – π/4 с вероятностью 0,5. Найти ковариационную функцию случайного процесса x(t) = sin(ω0t + ϕ). Является ли данный процесс стационарным?
38
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ
Цель работы – изучение частотно-избирательных цепей на основе колебательных контуров. Последовательный и параллельный колебательные контуры часто используются в качестве основного элемента линейных частотноизбирательных цепей (фильтров, резонансных усилителей и т. п.). К основным характеристикам линейных цепей относятся импульсная характеристика h(t) и комплексный коэффициент передачи (частотная характеристика) Kɺ(ω) .
В исследуемых цепях вид этих характеристик полностью определяется резо-
нансной частотой ωр и добротностью Q контуров, а связь между ними – пре-
образованиями Фурье.
Исследуются временные и частотные характеристики колебательных контуров, влияние на них активных потерь, взаимосвязь временных и частотных параметров контуров.
4.1. Теоретические сведения
Последовательный колебательный контур (рис. 4.1, а) удобно рас-
сматривать как четырехполюсник. На резонансной частоте ωp он обладает
низким входным сопротивлением и для обеспечения колебательного режима должен подключаться к источнику сигнала с достаточно малым выходным
сопротивлением rг , таким, |
чтобы выполнялось условие r0 + rг = r << ρ , где |
||
ρ = |
|
= ω0L = 1 (ω0C) – |
волновое, или характеристическое сопротивле- |
L C |
|||
ние контура. |
|
||
|
|
rг |
|
L |
r0 |
|
|
|
u(t) |
|
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а
h(t) |
T |
|
|
Rн |
t |
|
|
|
б |
Рис. 4.1 |
|
39 |
|
Пренебрегая сопротивлением нагрузки (полагая его достаточно большим, Rн >> r), запишем дифференциальное уравнение для выходного напряжения четырехполюсника uC (t) :
LC |
d 2uC |
+ rC |
duC |
+ u = U σ(t) , |
(4.1) |
|
|
||||
|
dt 2 |
|
dt |
C |
|
|
|
|
|
где в качестве входного воздействия взята взвешенная функция включения
σ(t) (функция Хевисайда). Однородному дифференциальному уравнению
LC |
d 2uC |
+ rC |
duC |
+ u |
= |
d 2uC |
|
+ |
r |
|
duC |
+ |
1 |
|
u = 0 |
(4.2) |
|||||
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dt 2 |
|
dt |
C |
|
|
L dt |
|
|
LC C |
|
|
|
||||||||
соответствует характеристическое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
p2 + 2ap + w02 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
с корнями p = -a ± |
a2 - w2 |
= -a ± w ; |
|
a = |
r/(2L), ω = 1 |
|
|
|
|||||||||||||
здесь |
|
LC |
|||||||||||||||||||
1,2 |
|
0 |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
(«собственная» резонансная частота контура). Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.1) ищут в виде суммы решения уравнения (4.2) и так называемого частного решения уравнения (4.1), которое при выбранном входном воздействии оказывается просто константой U:
uC (t) = A1e p1t + A2e p2t + U .
Используя очевидные начальные условия uC (0) = 0 , i(0) = 0, находят константы A1 и A2 и записывают решение
uC (t) = U − U (cos ωрt + α sin ωрt)e−αt ,
ωр
которое при нормировке к U = 1 В становится безразмерной переходной характеристикой четырехполюсника g(t). Так как импульсная характеристика h(t) = dg/dt, получают
h(t) = w02 e−αt sin w t » w e−αt |
sin w t » w e−t τк sin w t , t ³ 0. |
(4.3) |
||||
р |
0 |
|
р |
р |
р |
|
wр |
|
|
|
|
|
|
График h(t) приведен на рис. 4.1, |
б. В выражении (4.3) приближение |
|||||
сделано в предположении малых потерь, a wp » w0 , а также введена по-
стоянная времени |
τк = 2L r = 2Qн ωp последовательного колебательного |
контура. Здесь Qн |
– нагруженная добротность контура, определяемая соот- |
ношением |
|
|
40 |