Документ: методичка по лабам Рцис, страницы 91-95

	π
	sin	(t − kT )

f (t ) =	T		.	(8.2)

k	π (t − kT )

T

Для сигнала длительностью Tc общее число отсчетов N = Tc/T (округля-

ют до целого числа).

В природе нет сигналов, которые имеют одновременно ограниченные дли-

тельность и спектр. Однако в инженерных расчетах достаточно учитывать лишь

ту часть спектра, в которой сосредоточено 80…95 % энергии сигнала. Поэтому на практике можно считать, что сигналы имеют ограниченный спектр.

Особенности представления сигналов рядом Фурье в базисе Котельни-

кова следующие. Во-первых, базисная система ортогональных функций вы-

брана так, что в любой отсчетный момент времени kT все слагаемые ряда об-

ращаются в нуль, кроме одного, равного значению отсчета s(kT). Во-вторых,

по этой причине коэффициенты ряда Фурье нет необходимости вычислять,

так как они равны значениям сигнала в отсчетные моменты времени

Ck = s(kT). В-третьих, все по той же причине, относительно проста аппарат-

ная реализация как дискретизации непрерывного сигнала в импульсную по-

следовательность, так и последующего его восстановления (синтеза).

Если бы имелось устройство, вырабатывающее сдвинутые на Т копии функций fk (t) , то для восстановления исходного сигнала достаточно было бы умножить их на соответствующие отсчеты s(kT), а результат просуммиро-

вать (см. (8.1)).

Таким устройством может служить идеальный фильтр нижних частот

(ИФНЧ) с частотой среза ωср = πT , у которого, как известно, импульсная характеристика f(t) представляет собой функцию вида sin ( x) x (рис. 8.3), а

частотная характеристика K

ИФНЧ

(ω)

постоянна в полосе частот пропуска-

ния и равна нулю вне ее:

1,

ω

≤ ω ,

ср

Kɺ

ИФНЧ

(ω) =

ω

> ωср.

0,

91

f(t), g(t)

KИФНЧ

K(ω)

f(t)

g(t)

t

– ωm

0

ωm

ω

−ωср

ωср

а

б

Рис. 8.3

Импульсная характеристика реального ФНЧ g(t) отличается по форме от функции f(t) (рис. 8.3, а). Если на вход ИФНЧ подать периодическую после-

довательность δ-импульсов с периодом Т, то на его выходе возникнет перио-

дическая последовательность откликов вида sin (ωср (t − kT ))(ωср (t − kT )) .

В реальности на ФНЧ подается дискретизированный сигнал s(kT), представляющий собой последовательность коротких импульсов, длительность которых много меньше интервала дискретизации T, а их амплитуды равны отсчетам s(kT). Таким образом, на выходе ФНЧ формируется сумма (8.1), т. е. восстановленный сигнал s(t).

Спектр дискретизированного сигнала Sɺд(ω) представляет собой раз-

множенный с периодом ω0 = 2πT (частота дискретизации) спектр ис-

ходного сигнала Sɺ(ω) (см. рис. 8.2, б). Идеальный ФНЧ с частотой среза

ω0 2 выделит только один участок спектральной функции Sɺд(ω) , совпа-

дающий со спектром Sɺ(ω) . Следовательно, форма выходного сигнала ИФНЧ будет повторять форму исходного сигнала. Сигнал восстановится по его дискретным отсчетам.

Если частота дискретизации ω0 выбрана меньше, чем 2ωm , то получим частичное наложение (перекрытие) участков размноженного исходного спек-

тра. В результате такого наложения спектр исказится и после выделения ИФНЧ участка спектра [−ω0 2; ω0 2] выходной сигнал будет несколько от-

личаться от исходного. Если же частота дискретизации ω0 выбрана больше,

чем 2ωm , наложения копий спектра Sɺ(ω) не произойдет, сигнал на выходе ИФНЧ восстановится без искажения. Технически не всегда возможно приме-

нить высокую частоту дискретизации. Для того чтобы уменьшить неизбеж-

ные искажения из-за перекрытия спектров, предварительно (до дискретиза-

ции) принудительно ограничивают спектр исходного сигнала. Для этого сиг-

92

нал пропускают через ФНЧ с такой частотой среза ωср, чтобы удовлетворя-

лись условия теоремы Котельникова (ω0 > 2 ωср). Принудительное ограниче-

ние спектра сигнала до дискретизации путем фильтрации приведет к искаже-

нию формы сигнала, но эти искажения будут меньшими, чем из-за перекры-

тия спектров. Эта мера является весьма полезной и в случае, когда произво-

дится дискретизация сигнала в присутствии широкополосного шума, так как при прохождении через ФНЧ шумовая составляющая уменьшается, следова-

тельно, уменьшается и ошибка дискретизации.

Создать последовательность δ-импульсов технически невозможно. Ре-

альные дискретизирующие импульсы имеют малую, но все же конечную длительность (рис. 8.4).

	sд(t)				SΩ(ω)
	A				Aτи
–	τи	τи	t	–	2π	0	2π	ω
–	2	2		–	τи		τи
	2	2			τи		τи
				Рис. 8.4

Спектр сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности,

Sɺдр(ω) , не является простым повторением копий исходного спектра. Можно доказать, что этот спектр равен произведению двух спектров (рис. 8.5):

Sɺдр(ω) = Sɺд(ω)SɺΩ (ω) , где Sɺд(ω) – спектр сигнала, дискретизированного

δ-импульсами (см. рис. 8.2, а); SɺΩ (ω) – спектр реального дискретизирующе-

го прямоугольного импульса.

Sдр(ω)
Aτи
0 ωm	ω0	2ω0	3ω0	2π ω
				τи
			Рис. 8.5
			93

Поскольку длительность прямоугольных импульсов дискретизации мала по сравнению с интервалом дискретизации Т, то его спектр оказывается настолько широким, что в пределах −ωm < ω < ωm можно считать, что

SɺΩ (ω) ≈ 1. В этом случае центральная часть спектра Sɺдр(ω) , сосредоточенная вокруг нулевой частоты, повторит по форме спектр исходного сигнала и за-

мена δ-импульсов реальными короткими импульсами не приведет к сколько-

нибудь значимой ошибке при восстановлении сигнала.

Еще одним источником ошибки является неидеальная фильтрация при восстановлении. Идеальная прямоугольная форма амплитудно-частотной характеристики ФНЧ практически не может быть реализована; для сглаживания используют фильтры с приблизительно прямоугольными характеристиками, очень часто применяют просто RC-фильтры, имеющие монотонно спадающую характеристику. Импульсная характеристика последних весьма отличается от требуемых функций вида sin x x . На выходе такого фильтра, помимо цен-

тральной части спектра, появятся дополнительные составляющие, вызванные неполным подавлением соседних его участков. Вследствие этого восстановленный сигнал будет отличаться по форме от исходного. Главный метод борьбы с этими погрешностями состоит в увеличении частоты дискретизации.

Используя полосовой фильтр с идеальной частотной характеристикой,

можно выделить один из участков спектра со средней частотой nω0

(см. рис. 8.2, б), где n = 1, 2, …, и сформировать радиоимпульс с частотой за-

полнения nω0 и огибающей, совпадающей с исходным сигналом. Ортого-

нальное разложение для радиоимпульса имеет вид

∞

s (t ) = ∑ k =−∞


		π
	sin			(t − kT )
	sin			(t − kT )
s (kT )		T
s (kT )
		π	(t − kT )
			(t − kT )

T

	π
cos n		(t − kT ) ,
cos n	T	(t − kT ) ,
	T

т. е. базисная система включает в себя совокупность функций, каждая из которых есть модулированное колебание с несущей частотой nω0 = n πT и

огибающей вида					(8.2). Импульсная реакция полосового фильтра (ПФ)
h		(t )	представляет собой произведение функции вида sin ( x) x (см. (8.2))
ПФ			π
			π	(t − kT )
и	cos n				(рис. 8.6). Получается, что отсчеты для радиоимпульсов
и	cos n		T		(рис. 8.6). Получается, что отсчеты для радиоимпульсов
			T

берутся с интервалом T < 1 (2 fm ) , определяемым шириной спектра огибаю-

щей радиоимпульса, а не максимальной частотой спектра радиоимпульса.

94

h

(t )

K

(

)

gПФ

(t)

(ωω)

п.ф

пПФ.ф

0

t

2ωm

nω0 ω

– nω0

0

Рис. 8.6

При подобном представлении радиосигнала необходимо выбрать частоту дискретизации так, чтобы несущая частота оказалась кратной ей. С целью уменьшения ошибок восстановления дискретизированного сигнала, возникающих по причинам, изложенным ранее, в реальных устройствах частота дискретизации выбирается в 2…5 раз больше максимальной частоты спектра сигнала, как это следует из теоремы Котельникова.

8.2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка включает в себя: лабораторный макет с генератором импульсов, дискретизатором и набором фильтров; осциллограф; анализатор спектра.

8.3.Задание и указания к выполнению работы

Вданной работе исследуется восстановление дискретизированных исходных сигналов прямоугольной формы, гауссовской формы и формы ви-

да sin x x .

1.Получить и зарисовать импульсную характеристику и модуль комплексного коэффициента передачи:

а) для RC-фильтра; б) для ФНЧ; в) для ПФ.

Для этого необходимо подать на вход фильтра последовательность импульсов малой длительности. Тогда осциллограмма будет приближенно соответствовать импульсной характеристике, а модуль спектральной функции сигнала на выходе фильтра – модулю комплексного коэффициента передачи.

2.Получить и зарисовать осциллограммы и спектры сигналов, подлежащих дискретизации. Номера исследуемых сигналов задаются преподавателем.

3.Получить и зарисовать осциллограммы и спектры дискретизированных сигналов для двух частот дискретизации – 22 и 44 кГц.

95

Материал: методичка по лабам Рцис

Смотрите также: