Материал: методичка по лабам Рцис

k =−∞

Функция X(z) определена там, где ряд (9.5) сходится. Ниже приведен пример расчета z-преобразования для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

1. Единичная импульсная функция (9.1):

Функция X0(z) сходится на всей комплексной плоскости. 2. Единичный скачок

(для расчета использована формула суммы бесконечной геометрической прогрессии). Этот ряд сходится при |z–1| < 1, т. е. при |z| > 1.

3. Дискретная показательная функция

Данный ряд сходится при |az–1 | < 1, т. е. при |z| > |a|.

Дискретное z-преобразование очень простым образом связано с преобразованиями Лапласа и Фурье. Рассмотрим последовательность {x(k)}, опре-

деленную при k ³ 0, и сопоставим ей временной сигнал в виде набора дельтафункций:

k =0

где T – интервал дискретизации. Вычислим преобразование Лапласа для сиг-

нала (9.8):

k=0

101

Эта формула переходит в формулу (9.5), определяющую z-преобразование,

если выполнить подстановку z = epT.

Таким образом, взаимное соответствие между z-преобразованием X(z) и преобразованием Лапласа S(p) описывается следующим образом:

Похожими формулами описывается и связь z-преобразования X(z) с пре-

образованием Фурье Sɺ(ω) :

Столь тесная связь z-преобразования с преобразованиями Фурье и Лапласа обусловливает и подобие свойств этих преобразований.

Свойства z-преобразования.

1. Линейность. Z-преобразование, согласно определению (9.5), является линейной комбинацией отсчетов последовательности, поэтому оно подчиняется принципу суперпозиции:

если {x1(k)} ↔ X1(z) и {x2(k)} ↔ X2(z),

то {ax1(k) + bx2(k)} ↔ aX1(z) + bX2(z).

2. Z-преобразование задержанной последовательности. Если z-преобра-

зование последовательности {x(k)} равно X(z), то z-преобразование последовательности, задержанной на k0 тактов (y(k) = x(k – k0)), будет иметь вид:

Y (z) = X (z)z−k0 . Именно поэтому элементы задержки на рис. 9.1 обозначены

символами z−1.

3. Z-преобразование свертки последовательностей. Свертке дискретных последовательностей, которая рассчитывается согласно (9.2), соответствует произведение их z-преобразований.

Обратное z-преобразование. Соответствие между дискретной последовательностью чисел и ее z-преобразованием является взаимно-однозначным. Формула перехода от z-преобразования к последовательности чисел называется обратным z-преобразованием и формально записывается следующим образом:

где интеграл берется по произвольному замкнутому контуру в области сходимости функции X(z), охватывающему все ее полюсы.

Практическое вычисление обратного z-преобразования обычно производится над дробно-рациональными функциями переменной z и может быть выполнено разложением функции X(z) на простые дроби. Приведем несложный пример:

Из сравнения слагаемых (9.10) с примерами z-преобразований (9.6) и (9.7) видно, что первое слагаемое соответствует скачку с амплитудой, рав-

ной 2, а второе – дискретной показательной функции –(1/2) k, k ³ 0. Итак, искомая последовательность имеет вид

Системная функция дискретного фильтра. Применим z-преобразо-

вание к уравнению дискретной фильтрации (9.2). Так как это уравнение представляет собой дискретную свертку, то результатом будет произведение z-преобразований:

Y(z) = X(z) H(z).

Функция H(z), равная отношению z-преобразований выходного и входного сигналов и представляющая собой z-преобразование импульсной характеристики фильтра, называется системной функцией дискретного фильтра:

Комплексный коэффициент передачи. Чтобы получить комплексный коэффициент передачи (частотную характеристику) дискретного фильтра, воспользуемся формулой (9.9):

k =0

Из (9.11) видно, что частотная характеристика дискретного фильтра является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации 2π/T.

103

Физическая реализуемость. Применив z-преобразование к обеим ча-

Таким образом, системная функция физически реализуемого дискретного фильтра может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной z при наличии ненулевого свободного члена в знаменателе.

Устойчивость. При отсутствии входного сигнала в дискретном фильтре могут существовать свободные колебания. Их вид зависит от начальных условий, т. е. значений, хранящихся в элементах памяти фильтра (линиях задержки на рис. 9.1) в момент отключения входного сигнала. Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях свободные колебания являются затухающими, т. е. при x(k) = 0

lim y(k ) = 0 . k →∞

Любой сигнал на выходе линейного стационарного фильтра представляет собой линейную комбинацию его задержанных во времени импульсных характеристик. Поэтому для затухания свободных колебаний необходимо, чтобы была затухающей импульсная характеристика фильтра h(k):

lim h(k ) = 0 . k →∞

Можно показать, что для устойчивого дискретного фильтра полюсы системной функции (9.12) должны находиться внутри круга единичного радиуса на комплексной плоскости.

Резонатор второго порядка. Так называется рекурсивный фильтр второго порядка, по своим частотным свойствам являющийся аналогом одиночного колебательного контура. Его АЧХ обладает следующими свойствами:

•на нулевой частоте и на максимальной рабочей частоте дискретной системы, равной половине частоты дискретизации, АЧХ равна нулю;

•на некоторой частоте ω0 АЧХ имеет максимум, равный 1.

104

Можно показать, что системная функция фильтра, удовлетворяющего указанным требованиям, может быть записана в виде

где T – период дискретизации, а оставшийся параметр b2 регулирует полосу пропускания (и, следовательно, «добротность» резонатора). Фильтр будет устойчивым при |b2| < 1.

9.2. Описание компьютерной программы

Вид окна компьютерной программы «Дискретная фильтрация сигналов»

(lab_discrfilter.exe) показан на рис. 9.2.

Примечание. Выполняемое в программе моделирование процессов фильтрации основано на дискретной обработке сигналов, поэтому все приводимые в данном описании физические единицы измерения являются условными и используются исключительно для представления параметров сигналов и фильтров в наглядном виде.

Рис. 9.2

105