Материал: методичка по лабам Рцис
4.Получить и зарисовать осциллограммы и спектр восстановленных сигналов. Восстановление производить с помощью всех фильтров поочередно для двух частот дискретизации – 22 и 44 кГц.
5.Наблюдать на осциллографе результат восстановления гармонического колебания при плавном изменении частоты исходного сигнала. Зарисовать ряд качественно различающихся осциллограмм и указать частоты исходного сигнала, при которых эти осциллограммы получены.
6.Исследовать процесс восстановления гармонического колебания с ча-
стотой, равной fд / 2 , при изменении начальной фазы последовательности дискретизирующих импульсов. Зарисовать осциллограммы для трех различных вариантов указанной начальной фазы.
Содержание отчета
Теоретические материалы:
1. Для «идеального» ФНЧ с частотой среза fm = 11 кГц определить ми-
нимальную длительность прямоугольного импульса – такую, чтобы при его дискретизации и последующем восстановлении передавались все составляющие спектра с амплитудами, большими 0,1 от максимальной, т. е. 3 лепест-
ка функции Sɺ(ω) .
2.Определить частоту дискретизации, минимально необходимую при использовании фильтра, указанного в п. 1 ( fm = 11 кГц).
3.Изобразить синтезируемые сигналы и их дискретные отсчеты, следу-
ющие через 1/22 мс (45,45 мкс) и 1/44 мс (22,73 мкс):
а) видеоимпульс прямоугольной формы с длительностью, рассчитанной
вп.1;
б) радиоимпульс прямоугольной формы с несущей частотой fср = 44 кГц и длительностью, рассчитанной в п.1;
в) гармонический сигнал с частотой fср = 11 кГц.
4. Построить спектр сигнала, указанного в п. 3а.
Экспериментальные материалы:
1.Блок-схема лабораторной установки.
2.Импульсные и амплитудно-частотные характеристики фильтров.
3.Осциллограммы и спектрограммы дискретизированных и восстановленных сигналов.
4.Выводы по полученным результатам.
96
Контрольные вопросы
1.Сформулировать теорему Котельникова и пояснить ее смысл.
2.В чем состоит отличие сигналов с ограниченным спектром от реально существующих сигналов?
3.Каким образом синтезируют радиоимпульс по дискретным отсчетам видеоимпульса? Каким условиям должно удовлетворять значение частоты
дискретизации ω0 в этом случае?
4.Какими способами можно уменьшить погрешности при восстановлении сигналов?
5.В чем польза предварительной (до дискретизации) фильтрации непрерывного сигнала с помощью ФНЧ?
6.Как будет выглядеть спектр дискретизированного сигнала при ис-
пользовании отсчетных импульсов вида sinc(3πt/T), где T – период дискрети-
зации?
7. Определить необходимую крутизну спада АЧХ ФНЧ (в децибелах на килогерц), обрабатывающего сигнал со следующими характеристиками: fверх = 20 кГц, fдискр = 48 кГц, подавление мешающего сигнала не менее
80дБ.
8.Указать допустимые частоты дискретизации для выделения сигнала
полосовым фильтром. Параметры сигнала и |
фильтра следующие: |
fверх = 40 кГц, f0 = 200 кГц, fф = 90 кГц. |
|
9. Спектр сигнала сосредоточен в полосе 0…15 |
кГц. Необходимо после |
дискретизации и восстановления получить радиосигнал со средней частотой 100 кГц. Перечислить все возможные варианты значения частоты дискретизации сигнала.
10.Дискретизация и немедленное (без передачи сигнала) восстановление континуального сигнала принципиально не возможны без определенных информационных потерь (шум дискретизации, например). Тем не менее, дискретные сигналы все шире используются в радио- и телекоммуникационной технике. Почему?
11.Найти спектр сигнала, дискретизированного симметричными треугольными импульсами длительностью T, следующими с периодом 4T.
12.Сигнал s(t) = cos(2p×1000 t) подвергнут дискретизации с периодом,
равным 1, и затем восстановлен линейной интерполяцией отсчетов. Определить спектр результирующего сигнала.
97
13.Каким способом восстанавливают исходный непрерывный сигнал по его дискретным отсчетам? Какую АЧХ и импульсную характеристику имеет: а) идеальный ФНЧ? б) идеальный ПФ?
14.Как будет выглядеть спектр дискретизированного сигнала, если частота дискретизации в 2 раза больше минимально возможной?
15.Для восстановления континуального сигнала можно использовать полосовой или низкочастотный фильтр с прямоугольной АЧХ. Какие требования при этом предъявляются к ФЧХ восстанавливающего фильтра?
16.Известно, что конечность длительности импульса дискретизации неизбежно вызывает ошибки при восстановлении континуального сигнала. Какая форма импульса дискретизации является с этой точки зрения оптимальной?
17.Как повлияет на точность восстановления сигнала выбор частоты
дискретизации: а) ω0 < 2ωm? б) ω0 > 2ωm?
98
9. ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
Цель работы – изучение преобразования дискретных детерминированных и случайных сигналов в линейных дискретных фильтрах.
9.1. Теоретические сведения
Суть цифровой обработки сигналов состоит в том, что физический сигнал (напряжение, ток и т. д.) преобразуется в последовательность чисел (о представлении непрерывного сигнала его дискретными отсчетами см. лабораторную работу 8), которая затем подвергается математическим преобразованиям в вычислительном устройстве. Одной из наиболее распространенных операций, которые производятся на цифровой элементной базе, является линейная дискретная фильтрация, в процессе которой входная последовательность отсчетов {x(k)} преобразуется в выходную последовательность отсчетов {y(k)}.
Алгоритм дискретной фильтрации. В случае аналоговых линейных це-
пей с постоянными параметрами для анализа прохождения любого сигнала достаточно знать результат прохождения элементарного импульса в виде дельтафункции. Для линейных дискретных фильтров с постоянными параметрами также можно ввести в рассмотрение единичную импульсную функцию:
x0 |
1, |
k = 0, |
(k ) = |
(9.1) |
|
|
0, |
k ¹ 0. |
Выходная реакция на единичный импульс x0(k) называется импульсной характеристикой дискретного фильтра и обозначается h(k). Как и в случае линейных цепей с постоянными параметрами, знание импульсной характеристики позволяет проанализировать прохождение через дискретный фильтр любого сигнала. Выходной сигнал линейного стационарного и физически реализуемого фильтра может быть рассчитан через дискретную линейную свертку:
|
k |
|
y(k ) = |
∑ x(m)h(k - m) . |
(9.2) |
|
m=−∞ |
|
При реализации вычислений в дискретном фильтре могут быть исполь- |
||
зованы данные двух типов: |
|
|
• только что поступивший и некоторое количество предыдущих отсчетов |
||
входного сигнала: x(k), x(k – 1), …, |
x(k – m); |
|
• некоторое количество вычисленных ранее отсчетов выходного сигнала: y(k – 1), y(k – 2), …, y(k – n).
99
Таким образом, в общем случае очередной выходной отсчет y(k) вычис-
ляется по формуле |
|
|
y(k) = a0x(k) + a1x(k – 1) + … + |
amx(k – m) + |
|
+ b1y(k – 1) + b2 y(k – 2) + … + |
bny(k – n), |
(9.3) |
где bi и aj – постоянные коэффициенты. Равенство (9.3) называют алгорит-
мом дискретной фильтрации, ему соответствует структурная схема прямой формы реализации дискретного фильтра, показанная на рис. 9.1.
|
a0 |
|
|
|
|
|
y ) |
||
x(k) |
||||
|
(k) |
|||
Σ
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z–1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
z |
|
|
|
|
a1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k – 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
– 1) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z–1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
z |
|
|
|
|
a2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k ––2)2) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
aa
mm–11
xx(k – m + 1) 
–1 z–1
z
am
x(k –– m))
Рис. 9.1
b1
b2
b b
n –n–1
b
nn
zz––11
y(k –1))
–1 z–1
z
y(k –2)2)
yy((kk – n + 1)
–1 zz–1
y(k ––nn))
Максимальное из чисел m и n определяет порядок фильтра.
Различают нерекурсивные фильтры, не использующие для расчетов предыдущие выходные отсчеты (все bi = 0), и рекурсивные фильтры, которые эти отсчеты используют.
Если перегруппировать слагаемые в (9.3) таким образом, чтобы входные
отсчеты были с одной стороны от знака равенства, а выходные – |
с другой, |
|
получим традиционную форму записи разностного уравнения: |
|
|
y(k) – b1y(k – 1) – b2y(k – 2) – … – |
bny(k – n) = |
|
= a0x(k) + a1x(k – 1) + … + |
amx(k – m ). |
(9.4) |
Метод z-преобразования. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является z-преобразование. Смысл его заключается в том, что последовательности отсчетов {x(k)} ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:
100