Материал: Механика материалов. Методы и средства экспериментальных исследований

Таким образом, деформированное состояние в точке характеризуется шестью независимыми значениями компонент деформаций εij :

Как математический объект (тензор второго ранга) тензор деформаций с компонентами εij не отличается от тензора

напряжений с компонентами σij и обладает всеми рассмотрен-

ными свойствами.

В качестве инвариантных характеристик деформированного состояния обычно используют величины относительного изменения объема (первый инвариант)

и интенсивности деформаций (второй инвариант)

При изучении понятий «напряжение» и «деформация» материал рассматривается как сплошная среда, при этом знания конкретных его свойств не требуется. Опытное установление связи между напряжениями и деформациями является фундаментальной задачей экспериментальной механики, поскольку

16

PNRPU

позволяет выявить свойства и закономерности механического поведения материалов, лежит в основе выбора той или иной модели механического поведения и определения ее параметров, расчета напряженно-деформированных состояний (НДС) деталей и элементов конструкций.

1.2. МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Механическое поведение материалов при различных термомеханических воздействиях является весьма разнообразным и сложным. Обобщение экспериментально выявленных зависимостей и принятие некоторых идеализаций приводят к той или иной модели механики деформируемого твердого тела, которая с достаточной для практического использования точностью должна описывать поведение материала в определенных ограниченных условиях внешних воздействий. Константы и функции, которые позволяют в рамках выбранной модели отличить один материал от другого, называются материальными константами и функциями, находятся они в результате испытаний образцов из рассматриваемого материала.

К числу основных моделей механического поведения материалов следует отнести модели упругости, пластичности, вязкоупругости, критерии предельных состояний и др.

При построении моделей различают изотропные материалы, свойства которых не зависят от направления приложения нагрузок, и анизотропные, обладающие различными свойствами в различных направлениях.

Модели упругого поведения материалов. В основе моде-

лей упругого поведения материалов лежит допущение о линейной связи напряжений и деформаций, что соответствует начальной стадии деформирования, когда напряжения еще не вызывают каких-либо необратимых изменений в структуре материала.

17

При одноосном напряженном состоянии (растяжении или сжатии в направлении x1) принимается закон Гука в виде

где E – модуль упругости материала, называемый модуль Юнга

(Па). Поперечные деформации при одноосном растяжении или сжатии определяются с использованием коэффициента Пуассона ν, являющегося также деформационной константой материала:

Коэффициент Пуассона – величина безразмерная. Теоретически диапазон изменения ν от –1 до 0,5. Опыт показывает, что для всех известных изотропных материалов ν > 0 .

В другом практически важном частном случае плоского напряженного состояния – чистом сдвиге, когда находится такая ориентация площадок, что на них действуют только касательные напряжения, закон Гука имеет вид:

Модуль упругости в данном случае называется модулем сдвига G .

В общем случае напряженно-деформированного состоянии для изотропных материалов обобщенный закон Гука выражается соотношениями:

τ12 = 2Gε12 , τ23 = 2Gε23 , τ13 = 2Gε13 .

18

Напряжения и деформации в упругом изотропном теле можно связать также взаимно обратными соотношениями:

где δij , σ и θ – введенные ранее символы Кронекера, среднее на-

пряжение и относительное изменение объема, λ и µ константы материала, называемые параметрами Ламе.

Связь между средними напряжениями и относительным изменением объема выражается соотношением с использовани-

ем модуля объемной деформации K:

Из рассмотренных пяти упругих постоянных изотропного материала E, ν, K, λ и µ независимыми являются только любые две, зная которые можно определить все остальные согласно соотношениям:

Все упругие константы материала, за исключением безразмерной величины ν, имеют размерность напряжения, или давления – Па.

19

При нагревании тела в нем возникают температурные деформации, которые суммируются с деформациями, вызванными напряжениями:

τ12 = 2Gε12 , τ23 = 2Gε23 , τ13 = 2Gε13 .

Здесь ∆ T – приращение температуры, α – коэффициент линейного теплового расширения. Следует обратить внимание,

что сдвиговые деформации при нагревании или охлаждении изотропного тела не возникают.

Анизотропные материалы отличаются большим количеством упругих констант. Упругое поведение трансверсальноизотропного материала (x3 – ось анизотропии, x1x2 – плоскость изотропии, в которой свойства не зависят от направления) определяется пятью независимыми константами, а закон Гука выражается следующими соотношениями [11]:

20