Материал: конспект физика

Теорема Гауса. Потік вектора напруженості через замкнуту поверхню дорівнює сумі зарядів, які знаходяться всередині цієї поверхні, поділеної на електричну сталу ₀

.

Використовуючи теорему Гауса легко визначити:

1. Поле нескінченної однорідно зарядженої площини (див. рис. 4.4)

Рис. 4.4

,

де  – поверхнева густина заряду, тобто заряд, що припадає на одинцю площі поверхні.

2. Поле двох різнойменно заряджених поверхонь (див. рис. 4.5)

Рис. 4.5

.

Електричне поле повністю зосереджене між різнойменно зарядженими поверхнями з однаковими густинами заряду і є однорідним.

3. Поле нескінченної, зарядженої циліндричної поверхні:

E(r)=0 (r < R),

(r  R),

де R – радіус циліндра  – лінійна густина заряду, тобто заряд, який припадає на одиницю довжини, r – відстань від осі до точки спостереження (див. рис. 4.6). Таким чином, заряджена циліндрична поверхня утворює електричне поле тільки зовні циліндра, всередині циліндра електричне поле відсутнє.

4. Поле двох коаксіальних циліндричних різнойменно заряджених поверхонь (рис. 4.7).

E(r) = 0 (r<R₁),

(R₁  r  R₂),

E(r) = 0 (r>R₂),

Рис. 4.6

Рис. 4.7

де R₁ – радіус внутрішнього циліндру, R₂ – радіус зовнішнього циліндра. Коаксіальними циліндрами називають циліндри зі спільною віссю. Таким чином електричне поле двох коаксіальних різнойменно заряджених циліндрів з однаковою за модулем лінійною густиною заряду повністю сконцентроване між циліндричними поверхнями.

5. Поле зарядженої сферичної поверхні (див. рис. 4.8)

E(r) = 0 (r<R),

(r>R),

Рис. 4.8

де R – радіус сфери, r – відстань від центра сфери до точки спостереження, q – заряд сфери. Таким чином, електричне поле зарядженої сфери утворюється тільки зовні сфери, у середині зарядженої сфери електричне поле відсутнє.

6. Поле двох концентричних різнойменно заряджених сферичних поверхонь (див. рис. 4.9):

E(r) = 0 (r<R₁),

(R₁  r  R₂),

E(r)=0 (r>R₂),

Рис. 4.9

де R₁ i R₂ – радіуси внутрішньої і зовнішньої сфер. Концентричними називаються сфери зі спільним центром.

Таким чином, електричне поле двох різнойменно заряджених концентричних сферичних поверхонь повністю зосереджене між сферами.

4.2. Електричне поле в діелектриках

Діелектриками називаються речовини, не здатні проводити електричний струм через відсутність в них вільних електричних зарядів.

Полярні і неполярні діелектрики. Можна ввести радіуси-вектори центрів ваги позитивних і негативних зарядів молекули (див. рис. 4.10).

Рис. 4.10

; ,

де – радіус-вектори усередненого за часом положення і-го заряду молекули. Тоді можна вважати, що весь позитивний заряд молекули зосереджений у центрі ваги позитивних зарядів, а негативний – у центрі ваги негативних. В результаті отримаємо так звану дипольну модель молекули. Якщо за відсутності зовнішнього електричного поля:

1) , тобто центри ваги позитивних і негативних зарядів молекули збігаються, то такі молекули називаються неполярними, а діелектрики, що утворені з цих молекул – неполярними діелектриками.

2) , тобто центри ваги позитивних і негативних зарядів молекули не збігаються, то такі молекули називаються полярними, а діелектрики, що утворені з цих молекул, – полярними діелектриками.

Для полярних молекул вводиться дипольний електричний момент молекули

,

де q – заряд молекули, – радіус – вектор, проведений із центра ваги негативних зарядів у центр ваги позитивних зарядів молекули.

Молекула в зовнішньому електричному полі. При переміщенні в зовнішнє електричне поле з напруженістю :

а) неполярна молекула розтягується під дією сил поля і набуває дипольного електричного моменту, який направлений вздовж зовнішнього поля і пропорційний напруженості поля:

,

де  – поляризованість молекули;

б) полярні молекули розвертаються і встановлюються своїм дипольним моментом за напрямком вектора напруженості зовнішнього електричного поля .

Поляризація діелектрика. За відсутності зовнішнього електричного поля сумарний дипольний момент діелектрика дорівнює нулю (для неполярного діелектрика дипольні моменти молекул дорівнюють нулю, для полярного – через повний хаос напрямків дипольних електричних моментів молекул).

Під дією зовнішнього електричного поля діелектрик поляризується – результуючий дипольний момент діелектрика становиться відмінним від нуля (неполярні молекули розтягуються і орієнтуються дипольними моментами вздовж зовнішнього електричного поля з напруженістю , див. рис. 4.11). Ступінь поляризації діелектрика характеризується поляризованістю – дипольним електричним моментом у одиничному об’ємі діелектрика:

;

де – сума дипольних електричних моментів у об’ємі V.

Рис. 4.11

Для ізотропних діелектриків:

, (4.4)

де  – діелектрична сприйнятливість, – напруженість поля в діелектрику.

Зв’язані заряди. На поверхню діелектрика в наслідок поляризації виступають зв’язані заряди (див. рис. 4.12). Там, де лінії напруженості виходять з діелектрика виступають позитивні заряди, а там, де входять, – негативні. Поверхнева густина зв’язаних зарядів визначається за формулою:

Рис. 4.12

, (4.5)

де P_n – проекція вектора поляризованості на зовнішню нормаль до поверхні діелектрика. З урахуванням (4.4) формула (4.5) набуває вигляду:

, (4.6)

де – проекція напруженості поля всередині діелектрика у безпосередній близькості до поверхні на зовнішню нормаль до поверхні. Формула (4.6) визначає не тільки величину σ, а також її знак.

Опис поля у діелектрику. Через принцип суперпозиції напруженість електричного поля всередині діелектрика складається з двох компонентів:

, (4.7)

де – напруженість зовнішнього поля, – напруженість поля, утвореного зв’язаними зарядами, що виступили на поверхню діелектрика при його поляризації. Вектор завжди направлений протилежно вектору , тому в скалярному вигляді:

,

тобто діелектрики завжди послаблюють електричне поле. Поляризація діелектрика обумовлена дією сумарного поля (4.7).

Для опису електричного поля у діелектрику крім вектора напруженості вводиться ще вектор електричного зміщення

.

Зв'язок між векторами і такий:

,

де =1+ – відносна діелектрична проникність. Відносна діелектрична проникність ε показує, у скільки разів напруженість електричного поля в середині діелектрика відрізняється від напруженості зовнішнього поля.

4.3. Провідники у зовнішньому електричному полі

Умови рівноваги зарядів на провіднику. Рівновага зарядів на провіднику спостерігається при виконанні двох умов:

E=0 – в середині провідника.

– на поверхні провідника.

Тобто, в середині провідника поле повинно бути відсутнє, а на поверхні направлено по нормалі до поверхні.

Розподіл зарядів по провіднику. Якщо провіднику надати заряд, то він розподілиться на ньому так, щоб виконувалися дві вище надані умови рівноваги заряду на провіднику.

При рівновазі зарядів ні в якому місці у середині провідника не може бути надлишкових зарядів. Всі вони розташуються по зовнішній поверхні провідника (рис. 4.13).

Густина заряду на поверхні провідника визначається кривиною поверхні =1/R, де R – радіус кривини. Густина заряду зростає зі збільшенням позитивної кривини поверхні (опуклості) і зменшується при збільшенні негативної кривини (вгнутості).

Провідник у зовнішньому електричному полі. При внесенні незарядженого провідника у електричне поле, носії заряду у провіднику приходять в рух. На поверхні провідника накопичуються заряди протилежних знаків, які називаються індукційними зарядами (див. рис. 4.14). Перерозподіл зарядів закінчується тоді, коли будуть виконані обидві умови рівноваги заряду на провіднику.

Рис. 4.13

Рис. 4.14

Індукційні заряди розподіляються по зовнішній поверхні провідника, а поле всередині провідника дорівнює нулю, тому що поле індукційних зарядів компенсує всередині провідника зовнішнє поле. На цьому базується електростатичний захист, тобто захист певних місць простору від електричних полів.

Електроємність провідника. Величина, що характеризується здатністю провідника накопичувати електричні заряди, називається електроємністю

,