Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

соком давлении. Это приводит к сокращению габаритов при высокой удельной теплонапряженности элементов парогенератора, сравнимой с теплонапряженностью камер сгорания современных жидкостных ракетных двигаталей (ЖРД). Вместе с тем по своему назначению данная установка должна иметь ресурс, как по времени работы, так и по числу включений во много раз превосходящий ресурс, характерный для ЖРД.

Рис. 5.2. Водородный парогенератор: 1 - корпус камеры сгорания; 2 - смесительная головка; 3 - камера сгорания; 4 - втулка с тангенциальными

отверстиями; 5 - сопло; 6 - камера испарения; 7 - запальное устройство; 8 - свеча; 9 - магистраль подачи окислителя; 10 - магистраль подачи горючего; 11 - магистраль подачи воды; 12 - датчик давления; 13 - датчик температуры;

14 - выход высокотемпературного пара

Решение такой сложной технической проблемы требует тщательного исследования физических процессов в агрегатах установки для точного определения нагрузок на элементы конструкции и поиска способов снижения уровня этих нагрузок. Особенно это касается наиболее сложных для анализа процессов запуска и выключения, когда кроме силовых нагрузок на элементы конструкции воздействуют и температурные нагрузки из-за неравномерности прогрева этих элементов.

В настоящее время возросшие возможности современной вычислительной техники позволяют значительно повысить качество математического моде-

85

лирования таких сложных систем, какой является рассматриваемая водородная парогенераторная установка. Появление эффективных программных средств и высокопроизводительной вычислительной техники позволили при проектировании энергоустановок и их агрегатов перейти от инженерных полуэмпирических одномерных моделей процессов к трехмерному моделированию и изучению развития физических процессов во времени. Если ранее разработка энергоустановок и их агрегатов осуществлялось по схеме проектирование- испытание-устранение обнаруженных дефектов – подтверждение при новом испытании, то использование математического моделирования позволяет осуществлять разработку по схеме: проектирование - трехмерное моделирование функционирования агрегата (математическое испытание) - уточнение конструкции – подтверждение при испытании. Такая схема разработки позволяет существенно сократить затраты на проведение испытаний агрегатов и установки в целом, которые составляют основную долю затрат при разработке.

5.2. Модели турбулентности

Применение численных методов для решения различных проблем значительно облегчается благодаря созданию специализированных расчетных комплексов, предназначенных для численного интегрирования уравнений движения жидкости в заданной пользователем расчетной области. Среди подобных расчетных комплексов (CFD-пакетов) наибольшую популярность имеют Fluent, Comsol, FlowVision, Star-CD, CFX, Flow3D и некоторые другие.

Хорошо известно, что движение вязкой несжимаемой жидкости в поле массовых сил описывается системой уравнений Навье-Стокса, впервые полученных С. Навье. Для замыкания данной системы ее необходимо дополнить еще одним уравнением – уравнением неразрывности.

В компонентной форме в декартовой системе координат система уравнений движения ньютоновской жидкости может быть записана следующим образом

где – плотность жидкости;

ui – i-я компонента вектора скорости; i, j x,y,z ;

p– гидродинамическое давление;

– молекулярная вязкость жидкости;

86

xj – j-я ось декартовой системы координат;

fi – i-я компонента вектора интенсивности массовых сил.

Здесь использовано правило Эйнштейна: если в одном члене уравнения индекс повторяется дважды, то по нему производится суммирование, т.е. уравнение неразрывности (5.1) следует понимать так

uj ux uy uz 0.

Задача будет поставлена, если система уравнений (5.1)-(5.2) дополнена начальными и краевыми условиями, в частности, условием прилипания на твердых границах: ui xi,t 0.

Трудности, возникающие при решении данных уравнений, обусловлены следующими основными причинами:

-нелинейностью уравнения (5.2);

-наличием в уравнении (5.2) производных и по времени, и по простран-

ству;

-невозможностью однозначно отнести уравнение (5.2) к одной из классификационных групп дифференциальных уравнений (гиперболическим, эллиптическим или параболическим);

-сложностью геометрических и динамических граничных условий при решении инженерных задач.

Одним из вариантов обхода указанных проблем является путь, предложенный О. Рейнольдсом. Он состоит из следующих шагов:

1. Величины, входящие в полные уравнения Навье-Стокса, разделяются

на осредненные (по времени) и пульсационные: , длинная черта сверху обозначает операцию осреднения, например, следующим образом:

1 T d , T – временной интервал.

T 0

2. Уравнения осредняются на конечном интервале времени, при этом

ui p T 0.

Применяя введенные правила к уравнениям (5.1)-(5.2) уравнения турбулентного движения можно записать таким образом

87

Сравнивая полученное уравнение с уравнением Навье-Стокса можно увидеть, что оно содержит один дополнительный член, а именно:

Это пространственная производная (дивергент) некоторых напряжений, являющихся результатом взаимодействий между флуктуациями в поле течения, и носящих название напряжений Рейнольдса.

На основе (5.3) уравнение (5.5) можно записать следующим образом:

ji xj ujui ,

то есть ji ujui , или, в декартовых координатах

где ux , uy , uz – пульсационные составляющие скорости относительно осей x , y, z соответственно.

Напряжения Рейнольдса появляются вследствие реакции потока на конвективный перенос количества движения через жидкие площадки вследствие пульсаций скорости.

Очевидно, что система уравнений Рейнольдса (5.3)-(5.4) является незамкнутой, так как содержит неизвестные пульсационные компоненты. Для замыкания используются специальные реологические соотношения, называемые моделями турбулентности.

Таким образом, полный тензор напряжений в несжимаемой жидкости может быть записан следующим образом:

88

Следует отметить что, несмотря на присутствие знака «минус» в правой части выражения напряжений Рейнольдса, сами величины напряжений ij при

i j являются положительными, и их знаки совпадают со знаками касательных напряжений осредненного потока.

Одной из важнейших характеристик турбулентного течения является рас-

. При этом турбулентное течение, в котором ij ji / 3, называется изо-

тропным.

Одним из важнейших уравнений, используемых для описания турбулентных течений, является уравнение переноса удельной кинетической энергии турбулентных пульсаций. Оно получается на основе уравнения (5.4), для чего все переменные, входящие в уравнение (5.1) следует представить в виде суммы осредненных и пульсационных составляющих, после чего умножить все его члены на ui , и произвести осреднение по времени. Получившееся в итоге уравнение можно записать следующим образом

кулярной диффузией, турбулентной диффузией перемешивания посредством взаимодействия пульсаций скорости и турбулентной диффузией давления посредством корреляций давления и скорости;

ющийся произведением рейнольдсовых напряжений и средних градиентов скорости (характеризует перенос энергии от осредненного течения к пульсационному);

s ui ui – диссипативный член, характеризующий преобразование

xj xj

энергии, подведенной к пульсационному течению, в частности, перенос энергии от крупномасштабных вихрей к мелкомасштабным диссипирующим вихрям. Величину s называют изотропной или псевдодиссипацией.

Уравнение (5.8) иллюстрирует общую форму уравнений переноса: скорость изменения величины связывается с ее диффузией, генерацией и диссипацией.

Подобным же образом можно получить уравнение переноса для компонент тензора напряжений Рейнольдса.

89