Материал: Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

Как уже отмечалось ранее, система уравнений в форме Рейнольдса (5.3)- (5.4) является незамкнутой, то есть требует для своего решения дополнительных соотношений, называемых моделями турбулентности. Наиболее распространенное из них основано на гипотезе Ж. Буссинеска и оперирует понятием изотропной турбулентной (вихревой) вязкости, а соответствующие модели называются линейными моделями турбулентной вязкости.

В соответствии с гипотезой Ж. Буссинеска напряжения Рейнольдса связываются с осредненным течением следующим образом:

Уравнение (5.9) не вводит никакой модели турбулентности, но лишь определяет ее структуру. Таким образом, для определения шести компонент тензора ij необходимо найти одну скалярную величину t . При этом весьма

сильным допущением является предположение об изотропности турбулентности.

Внастоящее время принята следующая классификация полуэмпирических моделей турбулентной вязкости [14]:

- алгебраические модели; - модели с одним дифференциальным уравнением переноса характери-

стики турбулентности; - модели с двумя дифференциальными уравнениями переноса (двухпара-

метрические модели); - модели с большим числом уравнений.

Модели турбулентности с двумя уравнениями переноса ведут отсчет от основополагающей работы А.Н. Колмогорова, и вплоть до настоящего времени остаются наиболее популярными моделями для решения широкого круга задач.

Данный класс моделей предполагает решение дифференциальных уравнений переноса для двух характеристик турбулентности, которые позволяют определить турбулентную вязкость с помощью алгебраических соотношений. В качестве первой из характеристик в подавляющем большинстве случаев выступает величина кинетической энергии турбулентных пульсаций k . В выборе же характеристики турбулентности, для которой формулируется второе уравнение, имеется определенная свобода. Наибольшее распространение получили k модель турбулентности.

Вкачестве характеристик турбулентности в этих моделях используются следующие величины:

k uui i – кинетическая энергия турбулентных пульсаций, м2/с2;

2

ui ui – диссипация энергии турбулентности, м2/с3.

xj xj

_

90

k модели содержат два уравнения переноса для k и , при этомt k2 / . Уравнение переноса для k строится на основе (5.8), а уравнение переноса для строится на основе физических соображений. В основе моделей лежит предположение о том, что течение является полностью развитым турбулентным течением, и влияние на поток молекулярной вязкости незначительно, что заметно ограничивает область ее приложения. Чтобы преодолеть эти ограничения в настоящее время созданы ряд модификаций модели, расширяющих область ее применения:

а) Стандартная - модель Простая двухпараметрическая модель турбулентности, в которой реша-

ются два уравнения переноса определяющие турбулентную скорость и масштаб длины. Стандартная - получила широкое применение в решении практических инженерных задач, с тех пор, как она была предложена Лаундером и Сполдингом. Ошибкоустойчивость, экономичность, и разумная точность для широкого диапазона турбулентных потоков делает ее наиболее применимой в промышленных задачах. Постоянные коэффициенты для этой модели турбулентности получены опытным путем и поэтому она является полуэмпирической. На базе стандартной - с учетом ее недостатков были созданы RNG - и

Realizable - модель;

б) RNG - модель

RNG - модель была разработана на основе строгих статистических методов (renormalization group theory), Она аналогична стандартной - модели, но имеет ряд существенных отличий:

-дополнительное условие в уравнении скорости турбулентной диссипации улучшает точность решения высоконапряженных потоков;

-дополнительный параметр, учитывающий циркуляцию турбулентности, улучшает точность расчета течений с закруткой потока;

-RNG теория предлагает аналитическую формулу турбулентных чисел

Прандтля, в то время, как в стандартной - модели данный параметр является константой.

- в то время как стандартная - модель является высокорейнольдсовой моделью, RNG теория предоставляет полученную аналитическим путем дифференциальную формулу эффективной вязкости, что более приемлемо при расчете низкорейнольдсовых течений. Но стоит отметить, что данная формула работает при качественном сеточном разрешении в области пограничного слоя.

Эти особенности делают RNG - модель более точной и надежной для широкого диапазона турбулентных течений, чем в случае со стандартной - моделью;

в) «Realizable» - модель

Данная модель была относительно недавно разработана и отличается от стандартной - модели:

Улучшенная форма записи турбулентной вязкости.

91

Новое уравнение переноса скорости диссипации , получено из точного уравнения переноса среднеквадратичного пульсационного вихря.

Непосредственное преимущество Realizable - модели состоит в том, что она более точно предсказывает распределение диссипации плоских и круглых струй. Это также вероятно обеспечит более лучшее прогнозирование вращающихся потоков, пограничных слоев подверженных сильным градиентам давления, отрывных течений и рециркуляционных течений. Обе модели Realizable и RNG - показывают существенное преимущество перед стандартной - моделью турбулентности для искривленных, вихревых и вращающихся потоков.

Термин «realizable» (реализуемая) означает, что модель разрешает некоторые математические ограничения для нормальных напряжений, что соответствует физике турбулентных потоков. Если рассматривать совместно гипотезу Буссинеска

и определение турбулентной вязкости

t C 2 ,

то можно получить следующее выражение для нормальных Рейнольдсовых напряжений в осредненном несжимаемом напряженном потоке:

Используя определение турбулентной вязкости для выражения t t / ,

получается, что нормальное напряжение u2 , которое по определению является положительной величиной, становится отрицательным, т.е. «нереальным», что происходит при достаточно больших напряжениях, удовлетворяющих условию

точно высоких значениях осредненных напряжений. Наиболее легким способом, гарантирующим «реализуемость» (положительные нормальные напряжения и выполнение неравенства Шварца для касательных напряжений), является

92

зависимость параметра C от характера деформации осредненного потока и турбулентности ( , ). Значения параметра C предложено, в частности, Рей-

нольдсом [2], и хорошо обосновано экспериментальными данными. Например, C 0,09 в инерционном подслое равновесных пограничных слоев, и C 0,05

в ярко выраженных гомогенных потоках с касательными напряжениями. Другим недостатком стандартной - модели турбулентности или ее яв-

ным грубым упрощением является запись уравнения переноса скорости турбулентной диссипации ( ), это приводит к тому, что стандартная - модель позволяет удовлетворительно описать процессы переноса только в области со значительной неоднородностью потока (асимметричные турбулентные потоки), а для осесимметричных потоков, характеризующихся небольшой неоднородностью, описание процессов переноса является очень грубым.

Realizable - модель предложенная Шином учитывает описанные выше недостатки традиционных - моделей:

Новая формулировка турбулентной вязкости, включает в себя параметр C , который для различных областей потока принимает необходимое значение

предложенное Рейнольдсом.

Используется другая модель переноса скорости турбулентной диссипации, которая базируется на динамическом уравнении пульсационных среднеквадратичных вихрей.

S .

В этих уравнениях G – производство турбулентной кинетической энергии, вызванное градиентами осредненного потока.

93

Gb - производство турбулентной кинетической энергии, вызванное плавучестью.

YM - параметр, характеризующий пульсации, вызванные расширением в сжимаемых турбулентных потоках.

C2 и C1 - константы;

и - турбулентные числа Прандтля для и , соответственно.

S и S – источники определяемые пользователем.

Стоит обратить внимание на то, что уравнение переноса для всех трех k моделей турбулентности записывается в одинаковом виде. Однако, уравнение переноса для Realizable k модели различно по сравнению со стандартной и RNG моделями. Важной положительной особенностью является то, что второе слагаемое в правой части уравнения (5.13) не содержит в себе параметр G , как в других k моделях. Предполагается, что представленная форма лучше предсказывает спектральный перенос энергии. Другой положительной особенностью является то, что третье слагаемое в правой части уравнения (5.13) не имеет математических «особенностей», т.е. его знаменатель никогда не станет равным нулю, даже если станет равным или меньше нуля, что может иметь место в стандартной и RNG k моделях.

Эта модель была экстенсивно утверждена для широкого диапазона течений, включая вращающиеся гомогенные потоки с касательными напряжениями, свободные потоки, течения в осесимметричных каналах и в области пограничного слоя, течения с зонами отрыва пограничного слоя. Для всех этих случаев данная модель турбулентности зарекомендовала себя значительно лучше стандартной - модели турбулентности. Особенно важен тот факт, что Realizable k модель качественно решает процессы переноса в задачах с малыми неоднородностями потока, т.е. дает качественные результаты для ярко выраженных осесимметричных турбулентных течений.

Как и для других - моделей турбулентная вязкость определяется выражением

Различие между Realizable - моделью и двумя другими заключается в том, что параметр C не является константой, а находится в процессе решения и определяется выражением

94