Научная работа: Феномены Солнца в исторической перспективе

N_S = sinz·cosA_S; E_S = sinz·cosA_S, (55)

где A_S - азимут Солнца в радианах.

Выражением (55) также определяются координаты N_S, E_S точек восхода и захода верхнего края Солнца, если углами z и A_S будут определены их моменты времени. На рис. 12 проекции дневного пути Солнца показаны для трех случаев: в день весеннего равноденствия и в дни солнцестояний на широте Москвы.

В день весеннего равноденствия центр Солнца всходит на Востоке и заходит на Западе. А восход и заход верхнего края Солнца немного сдвигается на Север. Летом восход и заход Солнца находится в северной части горизонта. С увеличением широты ц траектория 2 Солнца будет приближаться к окружности. На широте, где траектория станет окружностью, наступит полярный день.

В день зимнего солнцестояния траектория 3 Солнца укорачивается и находится в южной стороне неба. С увеличением широты длина ее уменьшается, и там, где траектория исчезает, наступает полярный день.

Рис. 12. Проекция дневного пути Солнца на плоскости горизонта на широте Москвы ( = 55.7522°) в современную эпоху 30.12.1949 г.: 1 - в дни весеннего равноденствия; 2 - летнего и 3 - зимнего солнцестояний. Ось N_S направлена на Север (N_rd), а ось E_S - на восток (E_st). Положение наблюдателя (M) в начале координат отмечено крестиком. Точками на линиях отмечены восходы верхнего края Солнца (с правой стороны) и его заходы (с левой стороны).

Следует отметить, что конечные точки на траектории Солнца в дни равноденствий 1 и в дни солнцестояний 2 и 3 играют ключевую роль в древных астрономических календарях [9]-[10]. Представленный в п. 15 программы SunPhnmen.mcd алгоритм позволяет рассчитать их для любой эпохи.

5.3. Азимуты восходов и заходов Солнца

В отличие от азимутов суточного движения Солнца азимуты точек восхода и захода необходимо отсчитывать до точек появления и исчезновения верхнего края Солнца. Как видно из рис. 2 и рис. 6, азимут наблюдаемой точки G захода края Солнца состоит из дуг на круге горизонта HH

A_Gs = N_rdE_stS_thW_st + W_stS_s+S_sG, (56)

где E_st и W_st - точки Востока и Запада на круге горизонта.

Дуга N_rdE_stS_thW_st равна 1.5•р (см. рис. 2). Через точку S_s и полюс N проведена дуга большого круга S_sF, поэтому она перпендикулярна дуге экватора AA', т.е. угол F = 0.5•р. Дуга S_sF равна д. В треугольнике S_sFW_st угол W_st = р/2 ? ц. Поэтому дуга W_stS_s определяется по теореме синусов

W_stS_s = arcsin(sinд/cosц). (57)

Сторона GS_s может быть найдена из треугольника GS_s1S_s. (см. рис. 6), в котором угол S_s = W_st = р/2 ? ц. В виду малости треугольника, его можно рассматривать как плоский и линейный со сторонами R_E·GS_s1 и R_E·GS_s, где R_E - радиус Земли. Для угла S_s можно записать: tg(р/2 ? ц) = R_E·GS_s1/(R_E·GS_s). Отсюда получаем:

GS_s = GS_s1·tg ц. (58)

Подставляя в (56) составляющие получим азимут точки захода Солнца в градусах в виде:

A_Gs = (180/ р)·(1.5р + arcsin(sinд/cosц) + GS_s1·tgц). (59)

Ввиду того, что sinд/cosц по модулю может превышать 1, введем обозначение:

Fn04 = sinд/cosц (60)

и определим функцию:

Fn4 = Fn04 при -1 ? Fn04 ? 1; Fn4 = -1 при Fn04 < -1; Fn4 = 1 при Fn04 > 1. (61)

Тогда азимут точки захода Солнца будет:

A_Gs = (180/ р)·(1.5р + arcsin(Fn4) + GS_s1·tgц). (62)

Чтобы рассчитать азимут точки восхода, обозначим точку S_r1 видимого восхода края Солнца на дуге M_nS_r (на рис. 2 эта точка не приведена). Она находится под горизонтом HH и дуга S_r1S_r равна по величине дуге S_s1S_s (см. рис. 6), т.е. S_r1S_r = S_s1S_s. Поэтому точка наблюдаемого восхода края Солнца G_s будет ближе к точке севера N_rd на величину дуги S_rG₁ = S_sG. Тогда азимут наблюдаемой точки G_s восхода будет определяться следующими дугами:

A_Gr = N_rdE_st? E_stS_r ? S_rG_r, (63)

где точка E_st находится в пересечении кругов горизонта HH и экватора AA', а ее азимут N_rdE_st = р/2. Дуга E_stS_r = W_stS_s. Подставляя в (63) все составляющие азимут точки восхода края Солнца с учетом (60)-(61) получаем в виде:

A_Gr = (180/ р)·(0.5р - arcsin(Fn4) - GS_s1·tgц). (64)

Как видим из (62) и (64) сумма азимутов восходов и заходов

A_Gs + A_Gr = 360°. (65)

Сумма A_Gs + A_Gr может отличаться от 360°, если горизонт в восточной части отличается от горизонта в западной части высотой окружающей местности. Приведенные формулы для азимутов не учитывают этой особенности и дают симметричные азимуты восходов и заходов относительно направления MN_rd на север (рис. 2).

На рис. 13 показано изменение азимута точки восхода края Солнца A_Gr в течение года на разных широтах. Например, на широте ц = 60° в момент весеннего равноденствия (T_d = 1) азимут A_Gr = 87.76°, затем он уменьшается до 35.84° в день летнего солнцестояния. В момент осеннего равноденствия A_Gr = 88.23°, а затем увеличивается до A_Gr = 141.27° в день зимнего солнцестояния.

Рис. 13. Азимуты восходов верхнего края Солнца в современную эпоху 30.12.1949 г. в течение года на разных широтах ц° Северного полушария: A_Gr - азимуты восходов Солнца в градусах.

С уменьшением широты ц экстремумы азимута Солнца A_Gr уменьшаются и на экваторе (ц = 0°) приближаются к 66.56° в день летнего солнцестояния и к 113.44° в день зимнего солнцестояния. С увеличением широты ц > 60° наименьший азимут точки восхода края Солнца A_Gr в день летнего солнцестояния приближается к 0°, т.е. Солнце восходит на Севере. На полярном круге (ц = 90° ? е°) наступает полярный день. С увеличением широты в день зимнего солнцестояния (T_d = 276) азимута Солнца A_Gr увеличивается до 180° на полярном круге (ц = 90° ? е°), т.е. Солнце всходит на Юге. С дальнейшим увеличением широты наступает полярная ночь.

Следует отметить, что графики на рис. 13 напоминают графики долготы светового дня на рис. 7, если их перевернуть вокруг горизонтальной линии A_Gr = 90°. Азимуты точки захода края Солнца A_Gs, как следует из (65), A_Gs = 360° - A_Gr, поэтому их графики будут похожи на графики долготы светового дня на рис. 7.

5.4. Экстремальные азимуты восходов и заходов Солнца в дни солнцестояний

Наибольшие азимуты заходов и наименьшие азимуты восходов верхнего края Солнца имеют место в день летнего солнцестояния л_s = р/2. В день зимнего солнцестояния л_s = 1.5•р экстремумы азимутов становятся обратными: азимуты заходов - наименьшие, а азимуты восходов - наибольшие. Приведем предельные азимуты восходов (64) в день летнего солнцестояния:

A_Grsm = (180/ р)•(0.5р ? arcsin(sinе/cosц) ? (9.8902·10^-3 + 4.6599·10^-3/с_s)·tgц) (66)

и в день зимнего солнцестояния:

A_Grwn = (180/ р)•(0.5р + arcsin(sinе/cosц) ? (9.8902·10^-3 + 4.6599·10^-3/с_w)·tgц). (67)

Азимуты заходов Солнца (62) в дни солнцестояний запишутся аналогичным образом. При вычислениях по формулам (66)-(67) в алгоритм необходимо ввести условия, чтобы избежать |sinе/cosц| > 1 (см. п. 14 программы в Приложении).

Результаты расчетов азимуты восходов Солнца в дни солнцестояний по формулам (66) - (67) для пяти разных эпох даны на рис. 14. Графики представляют изменение азимута A_Gr по широтам ц Северного полушария. Для летнего солнцестояния азимуты A_Gr ? 90° отмечены как область I, а для зимнего солнцестояния - как область II.

Рис. 14. Азимуты восходов верхнего края Солнца в моменты летнего солнцестояния (I) и зимнего солнцестояния (II) на разных широтах ц° Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T - время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; A_Gr - азимуты восходов Солнца в градусах.

В современную эпоху, как видно из рис. 14, на широте 50° в летнее солнцестояние азимут восхода Солнца A_Gr равен 50.77°, а в зимнее - 127.24°. С уменьшением широты азимут восхода увеличивается и приближается к 66.56° на экваторе. А в зимнее солнцестояние азимут восхода уменьшается и на экваторе приближается к 113.44°. С увеличением широты ц азимут восхода A_Gr дня летнего солнцестояния уменьшается и приближается к нулю. То есть Солнце всходит на Севере и наступает полярный день. А азимут восхода A_Gr дня зимнего солнцестояния с увеличением широты ц увеличивается до 180°и наступает полярная ночь.

Для остальных эпох изменения азимута восхода Солнца A_Gr происходит подобным образом, но с разными наклонами зависимостей A_Gr(ц). Например, для эпохи 31 т. л. н. полярные ночи и дни начинаются на меньших широтах, а в эпоху 46.44 т. л. н. - на больших широтах.

Следует отметить, что графики на рис. 14 напоминают графики долготы светового дня D в разные эпохи на рис. 9, однако области I и II у них разные. Азимуты точки захода края Солнца, например, в день летнего солнцестояния A_Gss, как следует из (65), A_Gss = 360° - A_Grsm. Поэтому графики A_Gssm и A_Gswn будут похожи на графики долготы светового дня на рис. 9.

В Приложении в табл. 3П приведены азимуты восходов Солнца для летнего солнцестояния (A_Grsm) и зимнего (A_Grwn) для пяти разных эпох. Изменение широты ц дается через 2°, начиная с экватора. Широты изменяются до величин, после которых наступает полярный день (A_Grsm = 0°) и полярная ночь (A_Grwn = 180°).

6. Солнечная тень гномона

6.1. Относительная длина тени гномона

Гнумоном (др.-греч. gnюmwn - указатель) называется предмет, тень от которого используется в солнечных и лунных часах и календарях. На рис. 15 показана длина тени l_sh вертикального гномона длиной l_g, которая возникает от верхнего края Солнца. Величина l_sh зависит от зенитного угла z Солнца и его углового радиуса S. Ранее формулой (21) величина S приводилась в виде дуги KS_s1 на рис. 6. Как следует из рис. 15, относительная длина тени гномона будет:

l_sh1 = l_sh/l_g = tg(z - S) = tg(z - 4.6599•10^-3/с), (68)

где зенитный угол z Солнца определяется выражением (46).

Рис. 15. Длина тени l_sh гномона длиной l_g при освещении его солнцем S.

Чтобы избежать отрицательных значений относительной длины теней l_sh1 расчет проводится по следующему алгоритму:

Fn06 = z - 4.6599•10^-3/с; (69)

Fn6 = Fn06 при -0.5•р ? Fn0 ? 0.5•р; Fn6 = -0.5•р при Fn06 < -0.5•р;

Fn6 = 0.5•р при Fn06 > 0.5•р; (70)

l_sh10 = tg(Fn6); l_sh1 = l_sh10 при l_sh10 > 0; l_sh1 = 0 при l_sh10 < 0. (71)

6.2. Изменение длины тени в течение дня

По алгоритму (69)-(71) рассчитано изменение относительной длины тени l_sh1 гномона в течение суток для трех разных дней на широте г. Москвы и для одного дня на широте г. Тюмени (рис. 16). В левой части графика вертикальными линиями показаны часовые углы восходов Солнца, а в правой - часовые углы его заходов. Так как в эти моменты длина тени стремится к бесконечности, и ординату l_sh1 графика приходится ограничивать, то асимптотическое приближение линий l_sh1 к вертикальным линиям восходов и заходов находится вне рисунка.

Рис. 16. Изменение длины солнечной тени гномона единичной длины в течение суток в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний на широте Москвы (° = 55.7522°) в современную эпоху 30.12.1949 г. 4 - длина солнечной тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (° = 57.301575°) по расчету и 5 - по наблюдениям. Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (щ < 0) и заходов Солнца (щ > 0).