Второй феномен, характерный для высоких широт, - это длительность в днях полярных дней (ДTdd) и полярных ночей (ДTdn). Наблюдатель на широте ц своего места может определить длительность полярных ночи и дня. А в теории полярные ночи и дни определяются долготами лpd и лpn (см. формулы (35)- (36)), по которым длительность этих феноменов рассчитывается по зависимости л(Td). Этот феномен сильно зависит от широты ц наблюдателя. Поэтому он в наибольшей степени находит для уточнения широты палеонаблюдателя, если он находился в высоких широтах.
Третьим феноменом является зенитный угол zn Солнца в полдни равноденствий и солнцестояний. Как уже отмечалось для весны, лета, осени и зимы Северного полушария равны, соответственно:
znsp = ц, znsm = ц - е, znau = ц и znwn = ц + е. (75)
Следует отметить, что в наблюдениях может использоваться высота l Солнца над горизонтом. Она определяется через зенитный угол так:
l = р/2 - zn. (76)
Четвертый феномен - это долгота светового дня во время летнего солнцестояния Ds и зимнего солнцестояния Dw. Для наблюдателя существует сложность в измерении этого феномена. Эти измерения требуют высокой технологии определения времени и хранения сведений о нем. Тем не менее, возможны приемы выполнения этой работы. В теории этот феномен определяется выражением (43).
Пятый феномен - азимуты восходов и заходов Солнца в дни солнцестояний и равноденствий. Они могут быть зафиксированы наблюдателем в зависимости от какого-то направления. В теории азимут восхода Солнца в день летнего солнцестояния определяется выражениями (66), а зимнего - (67). В дни равноденствий при д =0, согласно (60) и (64) азимут восхода Солнца будет:
AGrsp = AGrau = 90°•[1 ? (9.8902·10-3 + 4.6599·10-3)·tgц/0.5р]. (77)
Шестой феномен - длина теней гномона в полдни. Для дней солнцестояний: летнего (ls1s) и зимнего (ls1w) определяется согласно (74), а в дни равноденствий при д =0, согласно (73), длина тени будет:
ls1sp = ls1au = tg(ц - 4.6599·10-3). (78)
Наблюдатель может зафиксировать эти феномены по отношению к гномону, длина которого неизвестна. В этом случае могут потребоваться дополнительные данные для определения относительной длины тени. В теории относительные длины теней определяются выражениями (74) и (78).
8. Восстановление параметров наблюдателя и движения Земли по древним феноменам Солнца
Параметрами наблюдателя являются его древние широта местанахождения и направление на Север. Исследователи древних календарей отмечают изменение этих параметров наблюдателя. Например, М.И. Исрапилов пришел к выводу о смещении Северного полюса в Якутию несколько тысяч лет назад [7]. Рассмотрим как определить параметры наблюдателя по феноменам Солнца.
В дни равноденствий зенитный угол z, согласно (75), в полдень будет равняться широте места znsp = ц. А длина тени ls1sp согласно (77) также зависит от широты ц. Тогда широта места наблюдателя определяется по одному из этих феноменов:
ц = znsp либо ц = arctg(ls1sp + 4.6599•10-3). (79)
В дни равноденствий суточное движение Солнца происходит по кругу экватора AA' (рис. 2). Поэтому центр Солнца восходит на Востоке, а заходит на Западе. Палеонаблюдатель отмечает восходы и заходы Солнца по его верхнеиу краю. По формуле (77) при известной широте ц может быть найден азимут AGrsp восхода верхнего края Солнца. Обозначим наблюдаемое значение азимута палео-Востока как AEapa = 90°, тогда из (77) можем записать:
AEapa = AG1sp + 90°•(9.8902·10-3 + 4.6599·10-3)·tgц/0.5р. (80)
Тогда азимут палео-Севера запишется так:
ANpa = AEapa - 90° = AG1spa - 90°•[1 - (9.8902·10-3 + 4.6599·10-3)·tgц/0.5р], (81)
где AG1spa - наблюдаемый азимут древнего восхода Солнца во время весеннего равноденствия.
Азимут палео-Севера также можно определить через азимут восхода Солнца в момент осеннего равноденствия, а также через азимуты заходов в дни равноденствий. Четырехкратные способы определения предоставляют возможности для проверки результатов определения ANpa.
Теперь на основе феноменов Солнца определим параметры движения Земли. В полдень солнцестояний (л = р/2, 1.5р) зенитные углы z Солнца, согласно (75), и длины тенней в полдень, согласно (74), зависят от ц - е и ц + е. Поэтому при известной широте ц угол наклон е плоскости экватора к плоскости орбиты Земли может быть определен по одной из четырех зависимостей:
е = ц - znsm; е = -(ц - znsm); е = ц - arctg(ls1sm) - 4.66·10-3; е = -[ц - arctg(ls1wn)] - 4.66·10-3. (82)
Как видим зависимости (82) позволяют разными четырьмя способами определить угол наклона е при известной широте ц. Если широта ц неизвестна, то соотношения (82) позволяют определить и широту ц и угол е, при этом двумя способами.
Предельные азимуты восходов в дни солнцестояний определяются выражениями (66) и (67), которые зависят от е и ц. Вычтем из (67) выражение (66) и выразим угол наклона е:
е = arcsin[sin(р·ДAsr/360)·cosц], (83)
где ДAsr = AGrwn - AGrsm - разница азимутов восходов в дни солнцестояний.
Аналогичное выражение для угла наклона запишется через разницу ДAss азимутов заходов в дни солнцестояний. Поэтому, если величины ДAss и ДAsr имеются, то этим предоставляется возможность проверки определения е. Выражение (83) знаменательно тем, что в него входит разность азимутов восходов. Это исключает возможное, отличное от современного, толкование восхода и определение его момента. В этом случае на определение е также меньше влияют географические особенности места наблюдения.
Долготы светового дня в моменты солнцестояний определяются выражениями (43). С учетом (37) - (40) найдем разность светового дня ДD = Ds - Dw
. (84)
Упростим выражение (84), рассматривая его для центра Солнца, т.е. согласно (23) z0a1 = р/2. Тогда оно приобретет вид:
(85)
После упрощения (85) выразим угол наклона е:
е = arctg{[sin(0.5р·ДDud)]/tgц}, (86)
где
ДDud = ДD/24 ? (87)
? разность светового дня в моменты солнцестояний, по отношению к длительности суток.
Выражение (86) позволяет определить угол наклона е при известной широте места ц. Оно не требует знания способа деления суток на части, так как в (86) входит доля от суток, на которую солнечный день в летнее солнцестояние больше дня в зимнее солнцестояние. После нахождения е из (86), по выражению (84) можно уточнить ДD, а затем по (86) определить уточненное значение угла наклона е.
Определенные по представленным формулам широта ц и угол наклона е в дни равноденствий и солнцестояний содержат ошибки, связанные с определением палеонаблюдателем азимута, длины тени, продолжительности разности дня ДD. Кроме того в формулах содержится ошибка, связанная с тем, что принятые моменты равноденствий и солнцестояний на заходе и восходе Солнца или в полдень могут не совпадать с моментом прохождения Солнца через соответствующие точки г, г', E и E' на эклиптике EE' (рис. 2). Разность моментов может достигать 0.5 дня. Он дает погрешность пропорциональной отношению 0.5 дня к периоду прецессии оси Земли, равному 25780 тыс. лет. То есть эта погрешность несущественна. Погрешность наблюдений палеонаблюдателя также может быть оценена. Для этого необходимо современному наблюдателю повторить наблюдения в месте нахождения палеонаблюдателя. Обработка их результатов позволит определить погрешность палеонаблюдателя.
При известных палеопараметрах ц и е остальные параметры: эксцентриситет e орбиты Земли и долгота цpг перигелия могут быть определены по количеству дней Tdsm, Tdau, Tdwn до начала сезона и по длительности полярных дней ДTdd или ночей ДTdn. Эти параметры зависят от долготы л, которая рассчитывается численно в прилагаемой программе SunPhnmen.mcd. Методом последовательных приближений с ее помощью параметры e и цpг могут быть найдены. Они могут быть определены разными способами, так как нахождения двух неизвестных e и цpг существует 5 уравнений для величин Tdsm, Tdau, Tdwn, ДTdd и ДTdn.
Изменение параметров е, e и цpг во времени известно в результате решения задач об орбитальном движении Земли и о ее вращательном движении. В файле OrAl-5kyr.prn величины е, e и цpг даны с интервалом 1 год за 5 т.л.н., а в файле OrAl-200ky.prn - с интервалом 40 лет за 200 т.л.н. Поэтому, по трем параметрам е, e и цpг должен однозначно определиться возраст эпохи палеонаблюдателя. Если из археологических исследований примерный возраст эпохи наблюдения известен, то по одной из зависимостей е, e или цpг от времени этот возраст может быть уточнен.
Рассмотрим схематически алгоритмы определения параметров e и цpг в двух случаях: 1) при известном примерном возрасте эпохи наблюдения и 2) при неизвестеном. Пусть и в первом и во втором случае определены два каких-либо параметра палеоклимата, например, Tdsm,p и ДTdd,p. Индекс p, здесь и далее добавленный к обозначению параметра, обозначает, что этот параметр определен по древнему (палео-) календарю.
В первом случае пусть T1 и T2 - время начальной и конечной эпох, в пределах которого находится предполагаемый возраст древнего календаря. С помощью программы SunPhnmen.mcd на интервале от T1 до T2 рассчитываются Tdsm и ДTdd и строятся графики Tdsm(цpг) и ДTdd(e). По этим графикам по величинам Tdsm,p и ДTdd,p определяются угол перигелия цpг,p и эксцентриситет ep, которые были в эпоху древнего календаря. Время эпохи Tp определяется из файла данных OrAl-5kyr.prn или OrAl-200ky.prn.
Во втором случае, когда возраст календаря неизвестен, при заданных параметрах ц и е с помощью программы SunPhnmen.mcd производится первая серия расчетов при неизменном угле перигелия цpг варьируется эксцентриситет e. Во второй серии при неизменном эксцентриситете e варьируется угол перигелия цpг. Затем строится первая серия графиков Tdsm(цpг) при разных e и вторая серия графиков ДTdd(e) при разных цpг. Затем на графиках Tdsm(цpг) проводится горизонтальная линия Tdsm,p = const, а на графиках ДTdd(e) - ДTdd,p = const. По пересечению этих линий с линиями графиков Tdsm(цpг) и ДTdd(e) определяются параметры угол цpг,p и эксцентриситет ep, которые были в эпоху древнего календаря. Время эпохи Tp определяется из файла данных OrAl-5kyr.prn или OrAl-200ky.prn по трем параметрам: е, цpг,p и ep.
9. Использование результатов в аэрокосмических исследованиях рельефа
Рассмотренный алгоритм и программа SunPhnmen.mcd по расчету феноменов Солнца может быть использована для определения высоты возвышенностей и глубины выемок при аэрокосмическом исследовании поверхности Земли или других планет. В качестве примера рассмотрим определение профиля бугра по его тени.
Осенью 2013 г. оленеводами на Ямале, в 30 км Бованенковского месторождения (70°21'44'' с.ш. и 68°26'46'' в.д.) [22] обнаружен провал в земле, который еще называют воронкой. Он имел диаметр 25 м и глубину больше 50 м [23]. Вверху провал завершается коническим раструбом диаметром около 60 м. По космическому снимку от 09.06.2013 г. (см. рис. 22a) было установлено [23], что на месте провала находился бугор 1. Цифрой 2 показана тень от бугра.
Рис. 22. Бугор (a) от 9 июня 2013 г. вблизи Бованенково на Ямале (° = 70°) [23] перед появлением осенью 2013 г. воронки и профиль бугра (b), рассчитанный по его тени: точки - по результатам измерения тени, линия - апроксимационная зависимость (90).
Солнце находится в направлении противоположном тени, и, как следует из рис. 22a, азимута Солнца равен AShl = 326.5°. Широта бугра ц = 70.3622°, а дата его наблюдения соответствует Td = 81 день от дня равноденствия 21 марта. По зависимости азимута Солнца AS от часового угла щ (50) время Td и широта бугра ц позволяют рассчитать часовой угол Солнца щ, который обозначим как щhS. Эти расчеты выполнены в в п. 18 программы SunPhnmen.mcd.