Научная работа: Феномены Солнца в исторической перспективе

sinб_S = tgд·ctgе.

После подстановки в это выражение д из (4) получаем прямое восхождения Солнца в следующем виде:

(5)

б_S = б_S0 при л ? 0.5р; б_S = р ? б_S0 при 0.5р < л ? 1.5р; б_S = 2р + б_S0 при л > 1.5р.

В формулу (5) входит долгота Солнца л, которая изменяется от 0 до 2р. Так как функция arcsin многозначна, то на интервалах л больших р/2 необходимо выбирать нужные значения по представленному алгоритму.

Плоскости экватора AA и эклиптики EE изменяются в пространстве, вследствие чего точка весеннего равноденствия по часовой стрелке перемещается по эклиптике за год на 50.25641. Как уже отмечалось, годовое движение Солнца проходит по кругу эклиптики EE против часовой стрелки, что отражается изменением долготы , начиная от точки весеннего равноденствия . Поэтому время прохождения Солнцем двух последовательных точек весеннего равноденствия, т.е. тропический год P_tr = 365.24219879 дней, меньше сидерического года P_sd. Для того, чтобы сезоны года не смещались по датам, современный календарь основан на тропическом годе.

Солнце S при годовом движении по эклиптике EE' (см. рис. 2) в момент весеннего равноденствия находится в т. ( = 0), а в день летнего солнцестояния Солнце проходит т. E' ( = р/2), в момент осеннего равноденствия находится в т. ' ( = р), а в день зимнего солнцестояния проходит т. E ( = 3р/2). В п. 8 программы SunPhnmen.mcd вычислены моменты в днях прохождения точек лета T_dsm, осени T_dau и зимы T_dwn. Точку весеннего равноденствия, как уже отмечалось, Солнце проходит в момент T_dsp = 0. Так как ряд долгот _j1 расположен по целочисленному ряду дней T_d,j1, то эти расчеты проводятся интерполяцией по соседним значением долгот. Продолжительности сезонов: весны, лета, осени и зимы рассчитываются по разностям этих моментов, соответственно:

ДT_dsp = T_dsm ? T_dsp; ДT_dsm = T_dau ? T_dsm; ДT_dau = T_dwn ? T_dau; ДT_dwn = P_tr ? T_dwn. (6)

Результаты расчетов моментов наступления сезонов и их длительностей, согласно (6), приведены в табл. 1 для пяти эпох. Как уже отмечалось, четыре эпохи выбраны в моменты наступления экстремумов угла наклона е. Как видно из табл. 1 величина е изменяется от 0.25841 до 0.55875 в радианах, или от 14.8° до 32.1° в градусах. В современную эпоху (T = 0) наибольшую длительность имеет лето (ДT_dsm= 93.654 дня), а наименьшую - зима (ДT_dwn = 88.981 дня). В эпоху T = 2.8 т.л.н лето имеет еще большую длительность, а наименьшую - осень. В эпоху T = 15.32 т.л.н лето имеет наименьшую длительность, а наибольшую - осень. Аналогичные изменения длительности сезонов происходят в остальные эпохи. Однако эти изменения не очень большие и не превышают 6 дней.

В таблице 1 приведены длительности сезонов для северного полушария. Эти данные применимы и для южного полушария, если весну заменить осенью, а лето - зимой. Следует отметить, что приведенные в табл. 1 длительности сезонов для современной эпохи (T = 0) совпадают с известными в астрономии.

Таблица 1. Количество дней до начала сезонов в Северном полушарии и их продолжительность в эпохи T наступления экстремумов угла наклона : T - время в тыс. лет от 30.12.1949 г.

2.2 Суточное движение Солнца

Земля совместно с наблюдателем M (см. рис. 2), кругом горизонта HH и меридианом NZEM_dA вращается вокруг оси вращения Земли MN, с угловой скоростью . Вращение происходит против часовой стрелки. Поэтому Солнце относительно Земли и, в частности, относительно круга горизонта HH по часовой стрелке перемещается по кругу S_rM_dS_s параллельно экватору AA. В точке S_r оно восходит над горизонтом HH, в точке M_d находится в полдень, а в точке S_s заходит за горизонт, а в точке M_n находится в полночь. Часовой угол щ Солнца S отсчитывается от меридиана NZEM_dA, проходящего через точку полдня M_d. Часовой угол щ равняется дуге AB на круге экватора AA. Угловое расстояние Солнца от зенита Z определяется дугой ZS = z, где z называется зенитным углом.

В сферическом треугольнике NZS известны две стороны: NZ = р/2 - ц; NS = р/2 - д и угол N = щ между ними. Тогда по теореме косинусов [16] cos ZS = cos NZ·cos NS + sin NZ·sinц NS·cos N он запишется в следующем виде [12]-[13]:

cos z = sinд·sinц + cosд·cosц·cosщ. (7)

Зенитный угол z отсчитывается от точки зенита Z против часовой стрелки. В точке восхода S_r он равен: z = ?р/2, в точке захода S_s угол z = р/2. При этих углах из выражения (7) определяется часовой угол заходов и восходов Солнца.

щ₀ = ±arcos(-tgц·tgд). (8)

В представленном на рис. 2 положении наблюдателя M и Солнца S длительность дня больше длительности ночи. При нахождении Солнца S в полдень в точке E длительность дня будет наибольшая. Это точка летнего солнцестояния, по-другому, летнего солнцеворота. До этого момента Солнце каждый день приближалось к зениту Z, а в последующие дни оно будет удаляться от зенита. При нахождении Солнца S в точке E наибольшей будет длительность ночи. Это точка зимнего солнцестояния. А при нахождении Солнца S в точках или его суточное перемещение будет происходить по кругу экватора AA. Этот круг пересекает круг горизонта HH по его диаметру, поэтому время нахождения Солнца над горизонтом и под ним одинаково, т.е. длительность дня равна длительности ночи.

Если наблюдатель в точке M на рис. 2 будет находиться на большей широте, т.е. дуга N_rdN будет больше, то окружность SM_d не пересечет круг горизонта HH. В этом случае для наблюдателя M наступит полярный день. При нахождении Солнца S в южном полушарии вблизи т. E круг его суточного движения также не пересечет линию горизонта HH. В этом примере широты для наблюдателя в точке M наступит полярная ночь.

3. Длительность солнечных суток

Длительность солнечных суток T_sd определяется периодом прохождения Солнца через точку полдня M_d (рис. 2). За время T_sd Солнце S по эклиптике EE переместится в точку S₁ с прямым восхождением б_s1 = гB₁, которое определяется формулой (5). В связи с этим полдень наступит при часовом угле щ_sd0 < 2р на величину Дб₀ = б_S1 ? б_S, т.е. часовой угол солнечных суток будет

щ_sб0 = 2р ? Дб_0. (9)

Как следует из (5) величина Дб_0,j1 определяется разностью долгот Солнца л_j1 за два соседних дня. Величина Дл_j1 изменяется по двум причинам: из-за неравномерного движения Солнца по эллиптической орбите и из-за наклона орбиты под углом е к плоскости экватора. Из-за наклона одинаковые дуги SS₁ на круге эклиптики EE проектируются в неодинаковые дуги BB₁ на круге экватора AA. Разность прямых восхождений за два соседних дня запишем в виде:

Дб_0,j1 = б_s,j1 ? б_s,j1?1.

Найдем среднюю за год разность прямых восхождений

. (10)

Тогда по отношению к средней величине Дб_m разность долгот за солнечные сутки будет Дб = Дб₀ - Дб_m и часовой угол солнечных суток запишется

щ_sd = 2р - (Дб₀ ? Дб_m). (11)

А длительность солнечного дня в часах будет иметь вид:

(12)

где 24/2р - коэффициент преобразования дуги, измеряемой в радианах, в часы.

Нетрудно убедиться, что средняя за год длительность солнечных суток, согласно (12), T_sdm = 24 часа. Тогда отклонение длительности солнечных суток в минутах от средних составляет

ДT_sd = 60(T_sd ? 24). (13)

Приведем некоторые значения для 2015 года. Отклонение солнечных суток от средних в день весеннего равноденствия j₁ = 1 будет ДT_sd = 0.297 мин, наибольшее значение ДT_sd = 0.358 минуты при j₁ = 181, и наименьший солнечный день при j₁ = 278: ДT_sd = -0.497 минуты. В современной цивилизации счет времени m происходит по средним солнечным суткам T_sdm. Они делятся на 24 часа, 1 час состоит из 60 минут, а минута - из 60 секунд. За счет отклонения ДT_sd солнечных суток от средних T_sdm накапливается отличие з₀ солнечного времени от среднего. Последовательное суммирование отклонений запишем в виде

з_0,j1 = з_0,j1?1 + ДT_sd,j1?1. (14)

Найдем среднее отклонение за год

. (15)

Средняя величина отклонения образуется при счете времени по средним солнечным суткам. Тогда отклонения солнечного времени от среднего солнечного времени будет

з_j1 = з_0,j1 - з_om. (16)

Величина з в астрономии называется уравнением времени. Поэтому истинное солнечное время m_a в часах будет выражаться через среднее солнечное время m так:

m_a = m+з, (17)

где m - отсчитывается от полуночи.

График для уравнения времени з(T_d) приведен на рис. 3. Отклонения времени з для дня весеннего равноденствия j₁ = 1 равно з = -7.47 мин, наименьшее значение з_mn = -14.25 мин при j₁ = 329, а наибольшее з_mx = 16.43 мин при j₁ = 229. Величины отклонения з не отличаются от известных в астрономии [17]. Отличие имеется в начале отсчета времени T_d в днях: в астрономии дни отсчитываются с 1 января, а на рис. 3 - с момента весеннего равноденствия.

Следует отметить, что по величине отклонения времени з можно также определить отклонение истинных солнечных суток от средних

ДT_sd,j1 = з_j1+1 - з_j1. (18)

Рис. 3. Уравнение времени в современную эпоху 30.12.1949 г.: з - в мин; T_d - в днях от момента весеннего равноденствия.

Клавдий Птолемей использовал равноденственные часы [18]. Как показано выше, весенние равноденственные сутки больше среднесолнечных на ДT_sd = 0.297 мин. Если он и предшествующие ему астрономы использовали равноденственное время, оно может отличаться от среднесолнечного времени на величину порядка 10 минут. Роберт Ньютон [19] обвинил Клавдия Птолемея в искажении моментов древних наблюдений, потому что они не совпадают с современной теорией примерно на такое же количество минут. Как видим, одной из причин несовпадения может быть разная длительность использованных часов времени.

Длительность солнечных суток, согласно (12), определялась разностями долгот л_j1 -л_j1?1 за средние солнечные сутки T_sdm = 24 часа. Был рассчитан скорректированный ряд долгот л_с,j1 по фактической длительности суток T_sd,j1 и повторены расчеты по формулам (9) - (16). Наибольшее отличие скорректированной длительности суток ДT_sdc от ДT_sd равно 0.092 сек при j₁ = 278. Это составляет относительную погрешность отклонения длительности солнечных суток 0.3%. Поэтому алгоритм расчета (9) - (16) для длительности суток T_sd и уравнения времени з можно использовать без коррекции.